10.3 马尔可夫链与金融市场状态建模¶

学习目标¶

理解马尔可夫链的转移矩阵和稳态分布
用马尔可夫链建模信用评级迁移
分析市场牛熊状态的转移概率
了解隐马尔可夫模型（HMM）的直觉

1. 这节究竟解决什么实际问题？¶

10.3 马尔可夫链与金融市场状态建模 的具体任务是：用状态转移描述市场情景，并区分转移概率和预测确定性。本节将明确输入数据、计算过程、输出及其在后续研究中的用途。

2. 前置知识¶

掌握基础代数、概率和 Python 数组操作。对公式的理解应包括变量定义、单位、时间索引和适用条件。

3. 数据说明¶

使用模拟或固定教学数据；重点是说明模型假设、估计误差和数值误差。运行前先检查 shape、日期范围、列名与缺失值。数据看起来能画图，不代表它适合回答研究问题。

4. 学习目标与完成标准¶

完成本节后，你应能用自己的话解释 10.3 马尔可夫链与金融市场状态建模 的输入、计算步骤、输出和局限；尤其能说明：用状态转移描述市场情景，并区分转移概率和预测确定性。你还应能独立改动一个参数并解释结果为什么变化，指出至少一个会让结论失真的假设。

5. 核心概念与公式¶

数学方法给出明确的计算规则；结论是否有效仍取决于研究对象、输入数据和模型假设。

先给出符号、单位、假设和可识别条件，再把公式翻译为逐步代码。看到公式时依次确认：每个符号的单位是什么？它属于哪个时点？分母会不会为零？它是描述性统计量、预测量，还是交易规则？

6. 从零实现¶

原始代码按照“准备输入 → 计算中间量 → 得到结果 → 解释输出”的顺序组织。每个单元应检查变量类型、索引、维度和代表性数值。中间变量用于核对公式实现和定位计算错误。

7. 成熟库实现¶

数值库帮你稳定求解；理解目标函数、约束和诊断仍不可省略。使用库函数前先阅读参数含义、默认值和返回对象；库输出一个数字，并不说明这个数字适合你的交易假设。

8. 两种实现的差异¶

从零实现便于核对公式、调试和识别隐含假设；成熟库适合在计算逻辑已验证后复用。两种实现依赖相同的数据口径与时点假设，使用库函数不会改变输入数据的质量。

9. 预期结果与检查范围¶

你应看到维度正确的 Series/DataFrame、日期单调递增的索引，以及能支持“用状态转移描述市场情景，并区分转移概率和预测确定性。”这一任务的表格或图形。金融日收益率均值通常接近 0；若出现极大的连续收益、空表、全 NaN 或索引错位，应先排查数据和对齐逻辑，而不是立即相信结果。

10. 常见错误与诊断¶

随机种子未固定、矩阵维度错配、优化约束遗漏、把数值收敛当成模型正确。

诊断顺序：先打印类型与 shape，再看 head()/tail()，接着检查日期和 NaN，最后才比较数值。这样能避免在错误的对象上反复改参数。

11. 研究偏差检查¶

数学模型的简化假设也会引入偏差；需要做参数敏感性与极端情景检查。结果至少应与一个简单基线比较，并明确哪些部分只是教学演示。

12. 三层练习与答案¶

基础练习：验证一个中间变量、补全一段小计算，并用一句话解释输出。
研究练习：改变窗口、样本区间、约束或标的，记录哪些结论仍成立。
开放项目：把本节方法嵌入模块项目，报告基线、失败结果和限制。

题目在 ../exercises/10_math_methods/03_markov_chains_exercises.ipynb；完整推导、可运行参考实现与结果检查在 ../solutions/10_math_methods/03_markov_chains_solutions.ipynb。请先独立作答，再打开答案。

13. 延伸阅读¶

延伸材料：QuantEcon Python Lectures。阅读记录应包括研究假设、数据频率、样本范围和结论适用条件。

14. 下一节¶

下一节是 04_mle_estimation。本节的概念会成为理解它的输入，而不是孤立的名词。

In [1]:

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import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(42)
print('Libraries loaded')
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(42)
print('Libraries loaded')

Libraries loaded

In [2]:

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import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

1. 马尔可夫链基础¶

马尔可夫性质：未来状态只依赖于当前状态，与历史无关： $$P(X_{t+1} = j | X_t = i, X_{t-1}, ...) = P_{ij}$$

转移矩阵 $P$：$P_{ij}$ = 从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率

每行之和 = 1
所有元素 ≥ 0

稳态分布 $\pi$：满足 $\pi P = \pi$ 的分布（长期各状态概率）

In [3]:

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# 示例：市场三状态马尔可夫链
# 状态：0=熊市, 1=震荡, 2=牛市
P = np.array([
    [0.70, 0.20, 0.10],  # 熊市: 70%继续熊, 20%震荡, 10%牛市
    [0.15, 0.70, 0.15],  # 震荡: 对称
    [0.05, 0.25, 0.70],  # 牛市: 70%继续牛
])
states = ['熊市', '震荡', '牛市']
P_df = pd.DataFrame(P, index=states, columns=states)
print('市场状态转移矩阵 P:')
print(P_df.round(3).to_string())

# 计算稳态分布（求解 πP = π, sum(π) = 1）
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(P.T)
pi = eigenvectors[:, np.argmin(np.abs(eigenvalues - 1))].real
pi = np.abs(pi) / np.abs(pi).sum()
print(f'\n稳态分布 π:')
for s, p in zip(states, pi):
    print(f'  {s}: {p:.3f} ({p:.1%})')
# 示例：市场三状态马尔可夫链
# 状态：0=熊市, 1=震荡, 2=牛市
P = np.array([
    [0.70, 0.20, 0.10],  # 熊市: 70%继续熊, 20%震荡, 10%牛市
    [0.15, 0.70, 0.15],  # 震荡: 对称
    [0.05, 0.25, 0.70],  # 牛市: 70%继续牛
])
states = ['熊市', '震荡', '牛市']
P_df = pd.DataFrame(P, index=states, columns=states)
print('市场状态转移矩阵 P:')
print(P_df.round(3).to_string())

# 计算稳态分布（求解 πP = π, sum(π) = 1）
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(P.T)
pi = eigenvectors[:, np.argmin(np.abs(eigenvalues - 1))].real
pi = np.abs(pi) / np.abs(pi).sum()
print(f'\n稳态分布 π:')
for s, p in zip(states, pi):
    print(f'  {s}: {p:.3f} ({p:.1%})')

市场状态转移矩阵 P:
      熊市    震荡    牛市
熊市  0.70  0.20  0.10
震荡  0.15  0.70  0.15
牛市  0.05  0.25  0.70

稳态分布 π:
  熊市: 0.266 (26.6%)
  震荡: 0.430 (43.0%)
  牛市: 0.304 (30.4%)

In [4]:

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# 模拟马尔可夫链状态序列
state = 0  # 从熊市开始
state_seq = [state]
for _ in range(252 * 5 - 1):
    state = np.random.choice(3, p=P[state])
    state_seq.append(state)

state_seq = np.array(state_seq)

# 对应各状态的市场收益率参数
state_params = {0: (-0.0008, 0.02), 1: (0.0002, 0.01), 2: (0.001, 0.008)}
returns = np.array([np.random.normal(*state_params[s]) for s in state_seq])
cum_returns = (1 + pd.Series(returns)).cumprod()

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(13, 7), sharex=True)
cum_returns.plot(ax=axes[0], color='steelblue', lw=1)
cmap = {0: 'red', 1: 'yellow', 2: 'green'}
for t in range(len(state_seq)):
    axes[0].axvspan(t, t+1, alpha=0.15, color=cmap[state_seq[t]])
axes[0].set_title('马尔可夫市场状态模拟（红=熊, 黄=震荡, 绿=牛）'); axes[0].set_ylabel('累积净值')

pd.Series(state_seq).plot(ax=axes[1], color='black', lw=0.8, drawstyle='steps-post')
axes[1].set_yticks([0,1,2]); axes[1].set_yticklabels(['熊市','震荡','牛市'])
axes[1].set_title('状态序列'); axes[1].set_xlabel('交易日')
plt.tight_layout(); plt.show()
# 模拟马尔可夫链状态序列
state = 0  # 从熊市开始
state_seq = [state]
for _ in range(252 * 5 - 1):
    state = np.random.choice(3, p=P[state])
    state_seq.append(state)

state_seq = np.array(state_seq)

# 对应各状态的市场收益率参数
state_params = {0: (-0.0008, 0.02), 1: (0.0002, 0.01), 2: (0.001, 0.008)}
returns = np.array([np.random.normal(*state_params[s]) for s in state_seq])
cum_returns = (1 + pd.Series(returns)).cumprod()

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(13, 7), sharex=True)
cum_returns.plot(ax=axes[0], color='steelblue', lw=1)
cmap = {0: 'red', 1: 'yellow', 2: 'green'}
for t in range(len(state_seq)):
    axes[0].axvspan(t, t+1, alpha=0.15, color=cmap[state_seq[t]])
axes[0].set_title('马尔可夫市场状态模拟（红=熊, 黄=震荡, 绿=牛）'); axes[0].set_ylabel('累积净值')

pd.Series(state_seq).plot(ax=axes[1], color='black', lw=0.8, drawstyle='steps-post')
axes[1].set_yticks([0,1,2]); axes[1].set_yticklabels(['熊市','震荡','牛市'])
axes[1].set_title('状态序列'); axes[1].set_xlabel('交易日')
plt.tight_layout(); plt.show()

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2. 信用评级迁移矩阵（标准普尔实证）¶

马尔可夫链最重要的金融应用之一：信用评级迁移矩阵。描述了债券从一个信用等级迁移到另一个等级（包括违约 D）的年概率。

In [5]:

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# 标准普尔简化年度信用迁移矩阵（近似历史数据）
ratings = ['AAA', 'AA', 'A', 'BBB', 'BB', 'B', 'D']
P_credit = np.array([
    [0.9111, 0.0788, 0.0071, 0.0006, 0.0000, 0.0000, 0.0000+0.0024],  # AAA
    [0.0070, 0.9065, 0.0779, 0.0064, 0.0006, 0.0011, 0.0005],  # AA
    [0.0009, 0.0227, 0.9105, 0.0530, 0.0074, 0.0026, 0.0029],  # A
    [0.0002, 0.0033, 0.0595, 0.8693, 0.0530, 0.0117, 0.0030],  # BBB
    [0.0003, 0.0014, 0.0067, 0.0773, 0.8053, 0.0862, 0.0228],  # BB
    [0.0000, 0.0011, 0.0024, 0.0043, 0.0648, 0.8346, 0.0928],  # B
    [0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 1.0000],  # D（违约吸收态）
])
# 调整行归一化
for i in range(len(ratings)-1):
    P_credit[i] = P_credit[i] / P_credit[i].sum()

P_credit_df = pd.DataFrame(P_credit, index=ratings, columns=ratings)
print('信用评级年度迁移矩阵 (%):' )
print((P_credit_df * 100).round(2).to_string())

# 5 年后的违约概率（矩阵乘幂）
P5 = np.linalg.matrix_power(P_credit, 5)
print(f'\n5 年后各级别累积违约概率:')
for r, d in zip(ratings, P5[:, -1]):
    print(f'  {r}: {d:.4f} ({d:.2%})')
# 标准普尔简化年度信用迁移矩阵（近似历史数据）
ratings = ['AAA', 'AA', 'A', 'BBB', 'BB', 'B', 'D']
P_credit = np.array([
    [0.9111, 0.0788, 0.0071, 0.0006, 0.0000, 0.0000, 0.0000+0.0024],  # AAA
    [0.0070, 0.9065, 0.0779, 0.0064, 0.0006, 0.0011, 0.0005],  # AA
    [0.0009, 0.0227, 0.9105, 0.0530, 0.0074, 0.0026, 0.0029],  # A
    [0.0002, 0.0033, 0.0595, 0.8693, 0.0530, 0.0117, 0.0030],  # BBB
    [0.0003, 0.0014, 0.0067, 0.0773, 0.8053, 0.0862, 0.0228],  # BB
    [0.0000, 0.0011, 0.0024, 0.0043, 0.0648, 0.8346, 0.0928],  # B
    [0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 1.0000],  # D（违约吸收态）
])
# 调整行归一化
for i in range(len(ratings)-1):
    P_credit[i] = P_credit[i] / P_credit[i].sum()

P_credit_df = pd.DataFrame(P_credit, index=ratings, columns=ratings)
print('信用评级年度迁移矩阵 (%):' )
print((P_credit_df * 100).round(2).to_string())

# 5 年后的违约概率（矩阵乘幂）
P5 = np.linalg.matrix_power(P_credit, 5)
print(f'\n5 年后各级别累积违约概率:')
for r, d in zip(ratings, P5[:, -1]):
    print(f'  {r}: {d:.4f} ({d:.2%})')

信用评级年度迁移矩阵 (%):
       AAA     AA      A    BBB     BB      B       D
AAA  91.11   7.88   0.71   0.06   0.00   0.00    0.24
AA    0.70  90.65   7.79   0.64   0.06   0.11    0.05
A     0.09   2.27  91.05   5.30   0.74   0.26    0.29
BBB   0.02   0.33   5.95  86.93   5.30   1.17    0.30
BB    0.03   0.14   0.67   7.73  80.53   8.62    2.28
B     0.00   0.11   0.24   0.43   6.48  83.46    9.28
D     0.00   0.00   0.00   0.00   0.00   0.00  100.00

5 年后各级别累积违约概率:
  AAA: 0.0109 (1.09%)
  AA: 0.0058 (0.58%)
  A: 0.0184 (1.84%)
  BBB: 0.0335 (3.35%)
  BB: 0.1370 (13.70%)
  B: 0.3484 (34.84%)
  D: 1.0000 (100.00%)

练习¶

计算 A 级债券从现在开始，在未来 3 年内升到 AAA 的累积概率（用矩阵幂次）。
基于信用迁移矩阵，设计一个信用策略：买入 BB 级债券（若升至 BBB 则获得价差收益），计算期望收益。
研究 hmmlearn 的 GaussianHMM，用真实 VIX 数据拟合 2 状态和 3 状态 HMM 的对数似然，哪个更合适？

下一节 → 04_mle_estimation.ipynb

In [ ]: