3.5 协整性与相关性¶

这一节讲什么？

高相关性不等于协整。相关性描述变量的线性共同变化，协整检验关注非平稳序列的某个线性组合是否平稳。本节使用 Engle-Granger 方法演示检验流程，结果不代表资产对适合实盘交易。

学习目标¶

• 理解相关性（Correlation）与协整性（Cointegration）的本质区别
• 掌握 Engle-Granger 两步协整检验
• 学会在股票池中批量寻找协整配对（热力图可视化）
• 理解差价（Spread）和 Z-Score 在配对交易中的应用

1. 这节究竟解决什么实际问题？¶

3.5 协整性与相关性 的具体任务是：区分相关与协整，避免把同步波动误作稳定价差关系。 本节将明确输入数据、计算过程、输出及其在后续研究中的用途。

2. 前置知识¶

理解收益率、滚动窗口和基础 DataFrame 操作。 对公式的理解应包括变量定义、单位、时间索引和适用条件。

3. 数据说明¶

使用固定日频价格样本；高低开收和成交量如为教学代理，会在代码中明确说明。 运行前先检查 shape、日期范围、列名与缺失值。数据看起来能画图，不代表它适合回答研究问题。

4. 学习目标与完成标准¶

完成本节后，你应能用自己的话解释 3.5 协整性与相关性 的输入、计算步骤、输出和局限；尤其能说明：区分相关与协整，避免把同步波动误作稳定价差关系。 你还应能独立改动一个参数并解释结果为什么变化，指出至少一个会让结论失真的假设。

5. 核心概念与公式¶

技术指标将历史价格或成交量压缩为统计量。指标本身不包含交易方向、执行时点和风险约束。

滚动指标只使用窗口结束日及以前的数据；交易仓位必须至少滞后一个可交易周期。 看到公式时依次确认：每个符号的单位是什么？它属于哪个时点？分母会不会为零？它是描述性统计量、预测量，还是交易规则？

6. 从零实现¶

原始代码按照“准备输入 → 计算中间量 → 得到结果 → 解释输出”的顺序组织。每个单元应检查变量类型、索引、维度和代表性数值。中间变量用于核对公式实现和定位计算错误。

7. 成熟库实现¶

公共指标函数减少重复代码；首次学习仍应读懂每个滚动、平滑和标准化步骤。 使用库函数前先阅读参数含义、默认值和返回对象；库输出一个数字，并不说明这个数字适合你的交易假设。

8. 两种实现的差异¶

从零实现便于核对公式、调试和识别隐含假设；成熟库适合在计算逻辑已验证后复用。两种实现依赖相同的数据口径与时点假设，使用库函数不会改变输入数据的质量。

9. 预期结果与检查范围¶

你应看到维度正确的 Series/DataFrame、日期单调递增的索引，以及能支持“区分相关与协整，避免把同步波动误作稳定价差关系。”这一任务的表格或图形。金融日收益率均值通常接近 0；若出现极大的连续收益、空表、全 NaN 或索引错位，应先排查数据和对齐逻辑，而不是立即相信结果。

10. 常见错误与诊断¶

窗口不足时误读 NaN、同日用收盘信号按收盘成交、忽略除零、把指标阈值当普适规律。

诊断顺序：先打印类型与 shape，再看 head()/tail()，接着检查日期和 NaN，最后才比较数值。这样能避免在错误的对象上反复改参数。

11. 研究偏差检查¶

测试大量窗口后只保留样本内表现最高的参数会产生数据窥探偏差；任何信号都应和简单基线比较。 结果至少应与一个简单基线比较，并明确哪些部分只是教学演示。

12. 三层练习与答案¶

• 基础练习：验证一个中间变量、补全一段小计算，并用一句话解释输出。
• 研究练习：改变窗口、样本区间、约束或标的，记录哪些结论仍成立。
• 开放项目：把本节方法嵌入模块项目，报告基线、失败结果和限制。

题目在 ../exercises/03_indicators/05_cointegration_correlation_exercises.ipynb；完整推导、可运行参考实现与结果检查在 ../solutions/03_indicators/05_cointegration_correlation_solutions.ipynb。请先独立作答，再打开答案。

13. 延伸阅读¶

延伸材料：Technical Analysis of the Financial Markets（Murphy）。阅读记录应包括研究假设、数据频率、样本范围和结论适用条件。

14. 下一节¶

完成本模块后，进入下一模块的概览页，并把本节的检查清单带到后续研究中。

In [1]:

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.tsa.stattools as ts
import matplotlib.pyplot as plt

# --- 模拟两只高度相关的股票，但它们不协整 (分别带有各自的漂移趋势) ---
np.random.seed(42)
returns_base = np.random.normal(0, 1, 500)
price_A = np.cumsum(returns_base + 0.1)  # 漂移项较小
price_B = np.cumsum(returns_base + 0.25) # 漂移项更大

plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.plot(price_A, label='Stock A (Drift = 0.1)')
plt.plot(price_B, label='Stock B (Drift = 0.25)')
plt.title('High Correlation, No Cointegration (Spurious correlation)')
plt.legend()
plt.show()

# 它们的相关性非常高
pca_corr = np.corrcoef(np.diff(price_A), np.diff(price_B))[0, 1]
print(f'日收益率相关性: {pca_corr:.4f} (极高相关性)')

# 协整检验
_, pval_coint, _ = ts.coint(price_A, price_B)
print(f'协整检验 p-value: {pval_coint:.4f} (大于0.05，拒绝协整)')

import numpy as np import pandas as pd import statsmodels.api as sm import statsmodels.tsa.stattools as ts import matplotlib.pyplot as plt # --- 模拟两只高度相关的股票，但它们不协整 (分别带有各自的漂移趋势) --- np.random.seed(42) returns_base = np.random.normal(0, 1, 500) price_A = np.cumsum(returns_base + 0.1) # 漂移项较小 price_B = np.cumsum(returns_base + 0.25) # 漂移项更大 plt.figure(figsize=(12, 5)) plt.plot(price_A, label='Stock A (Drift = 0.1)') plt.plot(price_B, label='Stock B (Drift = 0.25)') plt.title('High Correlation, No Cointegration (Spurious correlation)') plt.legend() plt.show() # 它们的相关性非常高 pca_corr = np.corrcoef(np.diff(price_A), np.diff(price_B))[0, 1] print(f'日收益率相关性: {pca_corr:.4f} (极高相关性)') # 协整检验 _, pval_coint, _ = ts.coint(price_A, price_B) print(f'协整检验 p-value: {pval_coint:.4f} (大于0.05，拒绝协整)')

日收益率相关性: 1.0000 (极高相关性)
协整检验 p-value: 0.0771 (大于0.05，拒绝协整)

In [2]:

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

import matplotlib.pyplot as plt # 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei） plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei'] # 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

4. 统计套利的基础¶

找到了协整关系，我们就构建了统计套利 (Statistical Arbitrage) 中最经典的配对交易 (Pairs Trading) 的基础：

1. 计算差价序列。
2. 将差价标准化为Z-Score。
3. 当 Z-Score > 2 时，做空差价组合（做空 Y，做多 $\beta$ 份 X）。
4. 当 Z-Score < -2 时，做多差价组合（做多 Y，做空 $\beta$ 份 X）。
5. 当差价回归均值 (Z-Score=0) 时平仓获利。

下一章将实现配对交易示例，并加入信号滞后、交易成本和动态对冲讨论。

5. 示例：在股票池中筛选协整资产对¶

现实中，量化研究员通常会圈定一个行业的股票池（比如银行股、航空股），然后在这个池子里两两计算 Engle-Granger 协整检验。找出 P-value 小于 0.05 甚至 0.01 的配对。

相关矩阵可以用**热力图（Heatmap）**展示，以便比较资产对之间的相关系数。

In [3]:

import seaborn as sns
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.tsa.stattools as ts
import matplotlib.pyplot as plt

# --- 模拟构建一个包含 5 只股票的股票池 ---
np.random.seed(10)
returns_pool = np.random.normal(0, 1, (500, 5))
base_prices = np.cumsum(returns_pool, axis=0) + 100
pool_df = pd.DataFrame(base_prices, columns=['Stock_A', 'Stock_B', 'Stock_C', 'Stock_D', 'Stock_E'])

# 特意制造一对协整关系 (让 Stock_E 成为 Stock_B 的协整影子)
pool_df['Stock_E'] = pool_df['Stock_B'] * 1.5 - 20 + np.random.normal(0, 2, 500)

# 计算协整 P-value 矩阵
def find_cointegrated_pairs(dataframe):
    n = dataframe.shape[1]
    pvalue_matrix = np.ones((n, n))
    keys = dataframe.columns
    pairs = []
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            S1 = dataframe[keys[i]]
            S2 = dataframe[keys[j]]
            result = ts.coint(S1, S2)
            pvalue = result[1]
            pvalue_matrix[i, j] = pvalue
            if pvalue < 0.05:
                pairs.append((keys[i], keys[j], pvalue))
    return pvalue_matrix, pairs

pvalues, cointegrated_pairs = find_cointegrated_pairs(pool_df)

print("发现的协整配对:")
for pair in cointegrated_pairs:
    print(f"{pair[0]} 和 {pair[1]} - P-value: {pair[2]:.4f}")

# 绘制热力图 P-value Heatmap
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(pvalues, xticklabels=pool_df.columns, yticklabels=pool_df.columns, cmap='viridis_r', 
            mask=(pvalues >= 0.99), annot=True)
plt.title('Cointegration P-values Heatmap')
plt.show()

import seaborn as sns import numpy as np import pandas as pd import statsmodels.tsa.stattools as ts import matplotlib.pyplot as plt # --- 模拟构建一个包含 5 只股票的股票池 --- np.random.seed(10) returns_pool = np.random.normal(0, 1, (500, 5)) base_prices = np.cumsum(returns_pool, axis=0) + 100 pool_df = pd.DataFrame(base_prices, columns=['Stock_A', 'Stock_B', 'Stock_C', 'Stock_D', 'Stock_E']) # 特意制造一对协整关系 (让 Stock_E 成为 Stock_B 的协整影子) pool_df['Stock_E'] = pool_df['Stock_B'] * 1.5 - 20 + np.random.normal(0, 2, 500) # 计算协整 P-value 矩阵 def find_cointegrated_pairs(dataframe): n = dataframe.shape[1] pvalue_matrix = np.ones((n, n)) keys = dataframe.columns pairs = [] for i in range(n): for j in range(i+1, n): S1 = dataframe[keys[i]] S2 = dataframe[keys[j]] result = ts.coint(S1, S2) pvalue = result[1] pvalue_matrix[i, j] = pvalue if pvalue < 0.05: pairs.append((keys[i], keys[j], pvalue)) return pvalue_matrix, pairs pvalues, cointegrated_pairs = find_cointegrated_pairs(pool_df) print("发现的协整配对:") for pair in cointegrated_pairs: print(f"{pair[0]} 和 {pair[1]} - P-value: {pair[2]:.4f}") # 绘制热力图 P-value Heatmap plt.figure(figsize=(8, 6)) sns.heatmap(pvalues, xticklabels=pool_df.columns, yticklabels=pool_df.columns, cmap='viridis_r', mask=(pvalues >= 0.99), annot=True) plt.title('Cointegration P-values Heatmap') plt.show()

发现的协整配对:
Stock_B 和 Stock_E - P-value: 0.0146
Stock_C 和 Stock_D - P-value: 0.0483
Stock_C 和 Stock_E - P-value: 0.0383

练习¶

1. 对 A 股银行板块（例如工商银行、建设银行、农业银行）的股票做协整检验，找出配对。
2. 画出任意两只高相关股票 5 年内的价格走势图，观察它们的价差是否保持平稳或者最终发散。
3. 修改 find_cointegrated_pairs 函数，加入参数让用户自定义置信水平（0.05 或 0.01）。

---

下一节 → ../04_backtesting/06_pairs_trading_strategy.ipynb

In [ ]: