1. 这节究竟解决什么实际问题？¶
1.11 AR(1) 随机过程与均值回归 的具体任务是：通过 AR(1) 系数与半衰期判断序列更像趋势延续还是均值回归。 本节将明确输入数据、计算过程、输出及其在后续研究中的用途。
2. 前置知识¶
会使用百分比和基础代数；建议先完成环境配置。 对公式的理解应包括变量定义、单位、时间索引和适用条件。
3. 数据说明¶
示例优先使用仓库固定的日频复权收盘价；它不是实时行情，也不代表完整市场。 运行前先检查 shape、日期范围、列名与缺失值。数据看起来能画图，不代表它适合回答研究问题。
4. 学习目标与完成标准¶
完成本节后，你应能用自己的话解释 1.11 AR(1) 随机过程与均值回归 的输入、计算步骤、输出和局限；尤其能说明：通过 AR(1) 系数与半衰期判断序列更像趋势延续还是均值回归。 你还应能独立改动一个参数并解释结果为什么变化，指出至少一个会让结论失真的假设。
5. 核心概念与公式¶
价格表示资产在特定时点的水平，收益率表示两个时点之间的相对变化。多数跨资产比较使用收益率。
所有公式都先说明分子、分母、单位与时间尺度；年化前必须确认数据频率。 看到公式时依次确认：每个符号的单位是什么？它属于哪个时点？分母会不会为零？它是描述性统计量、预测量，还是交易规则？
6. 从零实现¶
原始代码按照“准备输入 → 计算中间量 → 得到结果 → 解释输出”的顺序组织。每个单元应检查变量类型、索引、维度和代表性数值。中间变量用于核对公式实现和定位计算错误。
7. 成熟库实现¶
NumPy/Pandas 帮你算数和对齐索引；统计库帮你估计参数，但不替你解释经济含义。 使用库函数前先阅读参数含义、默认值和返回对象；库输出一个数字，并不说明这个数字适合你的交易假设。
8. 两种实现的差异¶
从零实现便于核对公式、调试和识别隐含假设；成熟库适合在计算逻辑已验证后复用。两种实现依赖相同的数据口径与时点假设，使用库函数不会改变输入数据的质量。
9. 预期结果与检查范围¶
你应看到维度正确的 Series/DataFrame、日期单调递增的索引，以及能支持“通过 AR(1) 系数与半衰期判断序列更像趋势延续还是均值回归。”这一任务的表格或图形。金融日收益率均值通常接近 0；若出现极大的连续收益、空表、全 NaN 或索引错位，应先排查数据和对齐逻辑，而不是立即相信结果。
10. 常见错误与诊断¶
把百分比和小数混用、忘记 dropna、把日频波动率直接叫作年化波动率、把相关性当因果。
诊断顺序：先打印类型与 shape，再看 head()/tail()，接着检查日期和 NaN，最后才比较数值。这样能避免在错误的对象上反复改参数。
11. 研究偏差检查¶
概念演示也要避免事后选择样本或只展示支持结论的时间段。 结果至少应与一个简单基线比较，并明确哪些部分只是教学演示。
12. 三层练习与答案¶
- 基础练习：验证一个中间变量、补全一段小计算，并用一句话解释输出。
- 研究练习：改变窗口、样本区间、约束或标的，记录哪些结论仍成立。
- 开放项目：把本节方法嵌入模块项目，报告基线、失败结果和限制。
题目在 ../exercises/01_financial_concepts/11_ar1_processes_exercises.ipynb；完整推导、可运行参考实现与结果检查在 ../solutions/01_financial_concepts/11_ar1_processes_solutions.ipynb。请先独立作答，再打开答案。
13. 延伸阅读¶
延伸材料：Investments（Bodie, Kane, Marcus）。阅读记录应包括研究假设、数据频率、样本范围和结论适用条件。
14. 下一节¶
完成本模块后，进入下一模块的概览页，并把本节的检查清单带到后续研究中。
In [1]:
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import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
np.random.seed(42)
print('Libraries loaded')
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
np.random.seed(42)
print('Libraries loaded')
Libraries loaded
In [2]:
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import matplotlib.pyplot as plt
# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']
# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
import matplotlib.pyplot as plt
# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']
# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
1. AR(1) 过程定义¶
$$X_t = \mu + \phi (X_{t-1} - \mu) + \epsilon_t, \quad \epsilon_t \sim N(0, \sigma^2)$$
- $\mu$：长期均值（均值回归的「引力中心」）
- $\phi$：自回归系数（$|\phi| < 1$ 时过程平稳）
- 平稳条件：$|\phi| < 1$
量化金融意义：
- $\phi$ 接近 1 → 接近随机游走（趋势跟踪）
- $\phi$ 接近 0 → 快速回归均值（均值回归策略）
- $\phi < 0$ → 过度震荡（每期都过度修正）
In [3]:
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# 演示不同 phi 值的 AR(1) 轨迹
np.random.seed(42)
n = 300
mu = 100
sigma = 1
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 8))
phi_values = [0.95, 0.5, 0.0, -0.5]
titles = ['φ=0.95（接近随机游走）', 'φ=0.5（缓慢均值回归）',
'φ=0.0（白噪音）', 'φ=-0.5（振荡均值回归）']
for ax, phi, title in zip(axes.flat, phi_values, titles):
X = np.zeros(n)
X[0] = mu
for t in range(1, n):
X[t] = mu + phi * (X[t-1] - mu) + np.random.normal(0, sigma)
ax.plot(X, color='steelblue', lw=1)
ax.axhline(mu, color='red', linestyle='--', lw=1.5, label=f'μ={mu}')
ax.set_title(title); ax.legend(fontsize=8); ax.grid(alpha=0.3)
plt.suptitle('AR(1) 过程：不同 φ 值的影响', fontsize=13)
plt.tight_layout(); plt.show()
# 演示不同 phi 值的 AR(1) 轨迹
np.random.seed(42)
n = 300
mu = 100
sigma = 1
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 8))
phi_values = [0.95, 0.5, 0.0, -0.5]
titles = ['φ=0.95（接近随机游走）', 'φ=0.5（缓慢均值回归）',
'φ=0.0（白噪音）', 'φ=-0.5（振荡均值回归）']
for ax, phi, title in zip(axes.flat, phi_values, titles):
X = np.zeros(n)
X[0] = mu
for t in range(1, n):
X[t] = mu + phi * (X[t-1] - mu) + np.random.normal(0, sigma)
ax.plot(X, color='steelblue', lw=1)
ax.axhline(mu, color='red', linestyle='--', lw=1.5, label=f'μ={mu}')
ax.set_title(title); ax.legend(fontsize=8); ax.grid(alpha=0.3)
plt.suptitle('AR(1) 过程：不同 φ 值的影响', fontsize=13)
plt.tight_layout(); plt.show()
In [4]:
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print('AR(1) 均值回归半衰期:')
print(f"{'φ':>8s} {'半衰期（天）':>15s} {'适合策略':>20s}")
print('-' * 50)
for phi in [0.99, 0.95, 0.90, 0.80, 0.60, 0.20]:
hl = -np.log(2) / np.log(abs(phi))
strategy = '趋势跟踪' if phi > 0.9 else ('缓慢均回' if phi > 0.6 else '快速均回')
print(f'{phi:>8.2f} {hl:>15.1f} {strategy:>20s}')
print('AR(1) 均值回归半衰期:')
print(f"{'φ':>8s} {'半衰期（天）':>15s} {'适合策略':>20s}")
print('-' * 50)
for phi in [0.99, 0.95, 0.90, 0.80, 0.60, 0.20]:
hl = -np.log(2) / np.log(abs(phi))
strategy = '趋势跟踪' if phi > 0.9 else ('缓慢均回' if phi > 0.6 else '快速均回')
print(f'{phi:>8.2f} {hl:>15.1f} {strategy:>20s}')
AR(1) 均值回归半衰期:
φ 半衰期（天） 适合策略
--------------------------------------------------
0.99 69.0 趋势跟踪
0.95 13.5 趋势跟踪
0.90 6.6 缓慢均回
0.80 3.1 缓慢均回
0.60 1.4 快速均回
0.20 0.4 快速均回
3. 实际应用：估计配对交易价差的 AR(1) 参数¶
In [5]:
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# 模拟一对协整股票的价差（AR(1) 均值回归过程）
np.random.seed(42)
phi_true = 0.85
mu_true = 0
sigma_true = 0.5
n = 252
spread = np.zeros(n)
for t in range(1, n):
spread[t] = mu_true + phi_true*(spread[t-1]-mu_true) + np.random.normal(0, sigma_true)
# OLS 估计 AR(1) 参数
df = pd.DataFrame({'y': spread[1:], 'x': spread[:-1]})
result = sm.OLS(df['y'], sm.add_constant(df['x'])).fit()
phi_hat = result.params['x']
mu_hat = result.params['const'] / (1 - phi_hat)
half_life = -np.log(2) / np.log(abs(phi_hat))
print(f'真实 φ: {phi_true:.3f} 估计 φ: {phi_hat:.4f}')
print(f'真实 μ: {mu_true:.3f} 估计 μ: {mu_hat:.4f}')
print(f'估计均值回归半衰期: {half_life:.1f} 天')
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(spread, color='steelblue', lw=1.2)
plt.axhline(mu_hat, color='red', linestyle='--', lw=1.5, label=f'估计均值 μ={mu_hat:.3f}')
plt.axhline(mu_hat + 2*spread.std(), color='orange', linestyle=':', label='±2σ 开仓线')
plt.axhline(mu_hat - 2*spread.std(), color='orange', linestyle=':')
plt.title(f'配对交易价差 AR(1) 模型（φ={phi_hat:.3f}, 半衰期={half_life:.1f}天）')
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.show()
# 模拟一对协整股票的价差（AR(1) 均值回归过程）
np.random.seed(42)
phi_true = 0.85
mu_true = 0
sigma_true = 0.5
n = 252
spread = np.zeros(n)
for t in range(1, n):
spread[t] = mu_true + phi_true*(spread[t-1]-mu_true) + np.random.normal(0, sigma_true)
# OLS 估计 AR(1) 参数
df = pd.DataFrame({'y': spread[1:], 'x': spread[:-1]})
result = sm.OLS(df['y'], sm.add_constant(df['x'])).fit()
phi_hat = result.params['x']
mu_hat = result.params['const'] / (1 - phi_hat)
half_life = -np.log(2) / np.log(abs(phi_hat))
print(f'真实 φ: {phi_true:.3f} 估计 φ: {phi_hat:.4f}')
print(f'真实 μ: {mu_true:.3f} 估计 μ: {mu_hat:.4f}')
print(f'估计均值回归半衰期: {half_life:.1f} 天')
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(spread, color='steelblue', lw=1.2)
plt.axhline(mu_hat, color='red', linestyle='--', lw=1.5, label=f'估计均值 μ={mu_hat:.3f}')
plt.axhline(mu_hat + 2*spread.std(), color='orange', linestyle=':', label='±2σ 开仓线')
plt.axhline(mu_hat - 2*spread.std(), color='orange', linestyle=':')
plt.title(f'配对交易价差 AR(1) 模型（φ={phi_hat:.3f}, 半衰期={half_life:.1f}天）')
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.show()
真实 φ: 0.850 估计 φ: 0.8264 真实 μ: 0.000 估计 μ: -0.0236 估计均值回归半衰期: 3.6 天
4. Ornstein-Uhlenbeck 过程（连续时间 AR(1)）¶
AR(1) 的连续时间版本是 Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程：
$$dX_t = \kappa(\theta - X_t)dt + \sigma dW_t$$
- $\kappa$：均值回归速度（越大越快）
- $\theta$：长期均值
- $\sigma$：波动率
对应 AR(1) 中：$\phi \approx e^{-\kappa \Delta t}$，从而 $\kappa = -\ln(\phi)/\Delta t$
In [6]:
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# OU 过程参数与 AR(1) 的对应
phi = 0.85
dt = 1/252 # 日频
kappa = -np.log(phi) / dt
print(f'AR(1) φ={phi} 对应 OU 过程 κ={kappa:.2f} (年化均值回归速度)')
print(f'半衰期: {np.log(2)/kappa*252:.1f} 天 = {np.log(2)/kappa:.2f} 年')
# 模拟 OU 过程
np.random.seed(42)
T_years = 2
np.random_steps = int(T_years * 252)
kappa_sim = 3.0 # 年化均值回归速度
theta = 0.0
sigma_ou = 0.5
X = np.zeros(252)
for t in range(1, 252):
dX = kappa_sim * (theta - X[t-1]) * dt + sigma_ou * np.sqrt(dt) * np.random.randn()
X[t] = X[t-1] + dX
print(f'OU 模拟: kappa={kappa_sim}, 半衰期={(np.log(2)/kappa_sim*252):.0f}天')
# OU 过程参数与 AR(1) 的对应
phi = 0.85
dt = 1/252 # 日频
kappa = -np.log(phi) / dt
print(f'AR(1) φ={phi} 对应 OU 过程 κ={kappa:.2f} (年化均值回归速度)')
print(f'半衰期: {np.log(2)/kappa*252:.1f} 天 = {np.log(2)/kappa:.2f} 年')
# 模拟 OU 过程
np.random.seed(42)
T_years = 2
np.random_steps = int(T_years * 252)
kappa_sim = 3.0 # 年化均值回归速度
theta = 0.0
sigma_ou = 0.5
X = np.zeros(252)
for t in range(1, 252):
dX = kappa_sim * (theta - X[t-1]) * dt + sigma_ou * np.sqrt(dt) * np.random.randn()
X[t] = X[t-1] + dX
print(f'OU 模拟: kappa={kappa_sim}, 半衰期={(np.log(2)/kappa_sim*252):.0f}天')
AR(1) φ=0.85 对应 OU 过程 κ=40.95 (年化均值回归速度) 半衰期: 4.3 天 = 0.02 年 OU 模拟: kappa=3.0, 半衰期=58天
练习¶
- 对 A/H 股溢价率序列（同一家公司的 A 股 vs 港股）进行 AR(1) 拟合，估计其均值回归半衰期。
- 对比 DF 检验（Dickey-Fuller）的统计量与 AR(1) 中 φ=1 的原假设，理解二者的关系。
- 实现一个实时更新的 AR(1) 配对交易策略：当 |spread - μ| > 2σ 时开仓，回到 |spread - μ| < 0.5σ 时平仓。
下一节 → ../10_math_methods/01_monte_carlo.ipynb
In [ ]:
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