0.0 量化交易的数学：线性代数¶

为什么我要学这个？

RSI、MACD 等指标主要处理单个时间序列。组合管理和因子分析还需要向量、矩阵、协方差以及线性代数运算。

线性代数不是为了让你算难题，它是为了让你“批量处理”信息。

学习目标¶

• 理解向量（Vector）和矩阵（Matrix）在交易中的真实含义
• 掌握矩阵运算在收益率计算和权重调整中的应用
• 直观理解主成分分析（PCA）如何帮我们看清市场

1. 这节究竟解决什么实际问题？¶

0.0 量化交易的数学：线性代数 的具体任务是：用向量、矩阵和 PCA 把多资产共同变化压缩为少数可解释的风险方向。 本节将明确输入数据、计算过程、输出及其在后续研究中的用途。

2. 前置知识¶

会使用百分比和基础代数；建议先完成环境配置。 对公式的理解应包括变量定义、单位、时间索引和适用条件。

3. 数据说明¶

示例优先使用仓库固定的日频复权收盘价；它不是实时行情，也不代表完整市场。 运行前先检查 shape、日期范围、列名与缺失值。数据看起来能画图，不代表它适合回答研究问题。

4. 学习目标与完成标准¶

完成本节后，你应能用自己的话解释 0.0 量化交易的数学：线性代数 的输入、计算步骤、输出和局限；尤其能说明：用向量、矩阵和 PCA 把多资产共同变化压缩为少数可解释的风险方向。 你还应能独立改动一个参数并解释结果为什么变化，指出至少一个会让结论失真的假设。

5. 核心概念与公式¶

价格表示资产在特定时点的水平，收益率表示两个时点之间的相对变化。多数跨资产比较使用收益率。

所有公式都先说明分子、分母、单位与时间尺度；年化前必须确认数据频率。 看到公式时依次确认：每个符号的单位是什么？它属于哪个时点？分母会不会为零？它是描述性统计量、预测量，还是交易规则？

6. 从零实现¶

原始代码按照“准备输入 → 计算中间量 → 得到结果 → 解释输出”的顺序组织。每个单元应检查变量类型、索引、维度和代表性数值。中间变量用于核对公式实现和定位计算错误。

7. 成熟库实现¶

NumPy/Pandas 帮你算数和对齐索引；统计库帮你估计参数，但不替你解释经济含义。 使用库函数前先阅读参数含义、默认值和返回对象；库输出一个数字，并不说明这个数字适合你的交易假设。

8. 两种实现的差异¶

从零实现便于核对公式、调试和识别隐含假设；成熟库适合在计算逻辑已验证后复用。两种实现依赖相同的数据口径与时点假设，使用库函数不会改变输入数据的质量。

9. 预期结果与检查范围¶

你应看到维度正确的 Series/DataFrame、日期单调递增的索引，以及能支持“用向量、矩阵和 PCA 把多资产共同变化压缩为少数可解释的风险方向。”这一任务的表格或图形。金融日收益率均值通常接近 0；若出现极大的连续收益、空表、全 NaN 或索引错位，应先排查数据和对齐逻辑，而不是立即相信结果。

10. 常见错误与诊断¶

把百分比和小数混用、忘记 dropna、把日频波动率直接叫作年化波动率、把相关性当因果。

诊断顺序：先打印类型与 shape，再看 head()/tail()，接着检查日期和 NaN，最后才比较数值。这样能避免在错误的对象上反复改参数。

11. 研究偏差检查¶

概念演示也要避免事后选择样本或只展示支持结论的时间段。 结果至少应与一个简单基线比较，并明确哪些部分只是教学演示。

12. 三层练习与答案¶

• 基础练习：验证一个中间变量、补全一段小计算，并用一句话解释输出。
• 研究练习：改变窗口、样本区间、约束或标的，记录哪些结论仍成立。
• 开放项目：把本节方法嵌入模块项目，报告基线、失败结果和限制。

题目在 ../exercises/01_financial_concepts/00_math_foundations_exercises.ipynb；完整推导、可运行参考实现与结果检查在 ../solutions/01_financial_concepts/00_math_foundations_solutions.ipynb。请先独立作答，再打开答案。

13. 延伸阅读¶

延伸材料：Investments（Bodie, Kane, Marcus）。阅读记录应包括研究假设、数据频率、样本范围和结论适用条件。

14. 下一节¶

下一节是 01_price_and_return。本节的概念会成为理解它的输入，而不是孤立的名词。

1. 向量与矩阵：从“单挑”到“群殴”¶

在只有一只股票时，我们处理的是标量（单个数字）。但现实中我们面对的是整个市场。

向量（Vector）是什么？¶

想象你有一个投资组合，持有了苹果（AAPL）、微软（MSFT）和谷歌（GOOG）。 你可以把它们的权重写成一个权重向量 $w$： $$w = [0.4, 0.3, 0.3]$$ 这代表你 40% 的钱买苹果，剩下两家各 30%。

矩阵（Matrix）是什么？¶

矩阵就是把多个向量叠在一起。比如这三只股票过去 5 天的日收益率，就是一个 $5 \times 3$ 的矩阵：

日期	AAPL	MSFT	GOOG
Day 1	0.01	-0.01	0.02
Day 2	-0.02	0.00	0.01
...	...	...	...
Day 5	-0.01	0.04	0.05

核心直觉：矩阵就是一张 Excel 表，它是量化代码处理数据的“基本单位”。

In [1]:

import numpy as np
import pandas as pd

# 用权重向量计算组合收益率
weights = np.array([0.4, 0.3, 0.3]) # 权重向量
returns = np.array([0.01, -0.02, 0.03]) # 三只股票当天的收益率向量

# 组合收益 = 权重1*收益1 + 权重2*收益2 + ...
# 在线性代数里，这就是“点积”（Dot Product）
portfolio_return = np.dot(weights, returns)

print(f"今日组合收益率: {portfolio_return:.4%}")

import numpy as np import pandas as pd # 用权重向量计算组合收益率 weights = np.array([0.4, 0.3, 0.3]) # 权重向量 returns = np.array([0.01, -0.02, 0.03]) # 三只股票当天的收益率向量 # 组合收益 = 权重1*收益1 + 权重2*收益2 + ... # 在线性代数里，这就是“点积”（Dot Product） portfolio_return = np.dot(weights, returns) print(f"今日组合收益率: {portfolio_return:.4%}")

今日组合收益率: 0.7000%

2. 使用矩阵乘法批量计算收益¶

如果你有 1000 天的数据和 100 只股票，你想计算这 1000 天组合每天的收益。你不需要写 for 循环，只需要一次矩阵乘法。

$$R_{portfolio} = R_{matrix} \times w$$

矩阵乘法的本质是：重新线性组合。它把原始的股票收益，按照你的权重重新“揉”成了一个新的时间序列。

为什么我们要强调不写循环？¶

1. 速度：Python 的 for 循环很慢，但 NumPy 的矩阵运算背后是 C 语言优化的，速度快百倍。
2. 清晰：一行矩阵运算能代替几十行逻辑代码。

In [8]:

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

import matplotlib.pyplot as plt # 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei） plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei'] # 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

In [6]:

# 模拟 5 天 3 只股票的收益率矩阵
np.random.seed(42)
return_matrix = np.random.normal(0.001, 0.02, (5, 3))
print("收益率矩阵 (5天 x 3只股票):")
print(return_matrix)

# 一次性计算 5 天的组合收益
portfolio_returns_5d = np.dot(return_matrix, weights)
print("\n5天组合收益序列:")
print(portfolio_returns_5d)

# 模拟 5 天 3 只股票的收益率矩阵 np.random.seed(42) return_matrix = np.random.normal(0.001, 0.02, (5, 3)) print("收益率矩阵 (5天 x 3只股票):") print(return_matrix) # 一次性计算 5 天的组合收益 portfolio_returns_5d = np.dot(return_matrix, weights) print("\n5天组合收益序列:") print(portfolio_returns_5d)

收益率矩阵 (5天 x 3只股票):
[[ 0.01093428 -0.00176529  0.01395377]
 [ 0.0314606  -0.00368307 -0.00368274]
 [ 0.03258426  0.01634869 -0.00838949]
 [ 0.0118512  -0.00826835 -0.0083146 ]
 [ 0.00583925 -0.0372656  -0.03349836]]

5天组合收益序列:
[ 0.00803026  0.0103745   0.01542146 -0.0002344  -0.01889349]

3. 特征值与特征向量：看透市场的“骨架”¶

想象标普 500 指数里的 500 只股票。它们每天乱跳，看起来有 500 种不同的动向。但实际上，大多数股票是跟着“大盘”走的，或者跟着“科技板块”走的。

特征分解（Eigen-decomposition） 可以把协方差矩阵分解为若干相互正交的共同变化方向：

• 特征向量 代表了市场运动的“方向”（比如：全市场上涨、价值股领先、科技股崩盘）。
• 特征值 代表了这个方向有多重要（影响力有多大）。

在量化里，我们常说的 PCA（主成分分析） 就是利用这个原理，把 500 个混乱的维度压缩成少数几个“核心变量”。

In [ ]:

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
import yfinance as yf

# 获取三只高相关科技股的数据
tickers = ['AAPL', 'MSFT', 'GOOGL']
data = yf.download(tickers, start='2023-01-01', end='2024-01-01', progress=False)['Close']
rets = data.pct_change().dropna() # 移除了nan值的涨跌幅

# 使用 PCA 提取第一个主成分（通常代表“市场共同因子”）
pca = PCA(n_components=1)
rets_pca = pca.fit_transform(rets)

import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.decomposition import PCA import yfinance as yf # 获取三只高相关科技股的数据 tickers = ['AAPL', 'MSFT', 'GOOGL'] data = yf.download(tickers, start='2023-01-01', end='2024-01-01', progress=False)['Close'] rets = data.pct_change().dropna() # 移除了nan值的涨跌幅 # 使用 PCA 提取第一个主成分（通常代表“市场共同因子”） pca = PCA(n_components=1) rets_pca = pca.fit_transform(rets)

In [ ]:

# 默认使用固定样本，保证课程与 CI 不依赖实时接口。
USE_OFFLINE_DATA = True
if USE_OFFLINE_DATA:
    from pathlib import Path
    import sys
    docs_root = next(parent for parent in [Path.cwd(), *Path.cwd().parents]
                     if (parent / 'utils' / 'offline_data.py').exists())
    sys.path.insert(0, str(docs_root))
    from utils.offline_data import configure_yfinance_offline
    configure_yfinance_offline(yf)
else:
    print('在线下载为扩展步骤；请核对数据字段、时区和下载日期。')

# 默认使用固定样本，保证课程与 CI 不依赖实时接口。 USE_OFFLINE_DATA = True if USE_OFFLINE_DATA: from pathlib import Path import sys docs_root = next(parent for parent in [Path.cwd(), *Path.cwd().parents] if (parent / 'utils' / 'offline_data.py').exists()) sys.path.insert(0, str(docs_root)) from utils.offline_data import configure_yfinance_offline configure_yfinance_offline(yf) else: print('在线下载为扩展步骤；请核对数据字段、时区和下载日期。')

In [18]:

data, data.pct_change(), data.pct_change().dropna, rets_pca.shape

data, data.pct_change(), data.pct_change().dropna, rets_pca.shape

Out[18]:

(Ticker            AAPL       GOOGL        MSFT
 Date                                          
 2023-01-03  123.096016   88.451683  233.452805
 2023-01-04  124.365677   87.419487  223.240829
 2023-01-05  123.046814   85.553589  216.624512
 2023-01-06  127.574203   86.685028  219.177475
 2023-01-09  128.095856   87.359932  221.311462
 ...                ...         ...         ...
 2023-12-22  191.609451  140.428970  368.236603
 2023-12-26  191.065140  140.458755  368.315247
 2023-12-27  191.164078  139.317368  367.735260
 2023-12-28  191.589706  139.178406  368.924805
 2023-12-29  190.550446  138.642456  369.671906
 
 [250 rows x 3 columns],
 Ticker          AAPL     GOOGL      MSFT
 Date                                    
 2023-01-03       NaN       NaN       NaN
 2023-01-04  0.010314 -0.011670 -0.043743
 2023-01-05 -0.010605 -0.021344 -0.029638
 2023-01-06  0.036794  0.013225  0.011785
 2023-01-09  0.004089  0.007786  0.009736
 ...              ...       ...       ...
 2023-12-22 -0.005548  0.007620  0.002784
 2023-12-26 -0.002841  0.000212  0.000214
 2023-12-27  0.000518 -0.008126 -0.001575
 2023-12-28  0.002227 -0.000997  0.003235
 2023-12-29 -0.005424 -0.003851  0.002025
 
 [250 rows x 3 columns],
 <bound method DataFrame.dropna of Ticker          AAPL     GOOGL      MSFT
 Date                                    
 2023-01-03       NaN       NaN       NaN
 2023-01-04  0.010314 -0.011670 -0.043743
 2023-01-05 -0.010605 -0.021344 -0.029638
 2023-01-06  0.036794  0.013225  0.011785
 2023-01-09  0.004089  0.007786  0.009736
 ...              ...       ...       ...
 2023-12-22 -0.005548  0.007620  0.002784
 2023-12-26 -0.002841  0.000212  0.000214
 2023-12-27  0.000518 -0.008126 -0.001575
 2023-12-28  0.002227 -0.000997  0.003235
 2023-12-29 -0.005424 -0.003851  0.002025
 
 [250 rows x 3 columns]>,
 (249, 1))

In [13]:

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(rets.index, rets.mean(axis=1), label='三只股票平均收益', alpha=0.5)
plt.plot(rets.index, rets_pca, label='第一主成分 (PCA1)', linewidth=2, color='red')
plt.title("PCA 提取的市场共同动力")
plt.legend()
plt.show()

print(f"第一主成分解释了这三只股票变动的 {pca.explained_variance_ratio_[0]:.2%}")
print("这说明这三只股票虽然名字不同，但 80% 以上的时间是在跳同一支舞。")

plt.figure(figsize=(12, 6)) plt.plot(rets.index, rets.mean(axis=1), label='三只股票平均收益', alpha=0.5) plt.plot(rets.index, rets_pca, label='第一主成分 (PCA1)', linewidth=2, color='red') plt.title("PCA 提取的市场共同动力") plt.legend() plt.show() print(f"第一主成分解释了这三只股票变动的 {pca.explained_variance_ratio_[0]:.2%}") print("这说明这三只股票虽然名字不同，但 80% 以上的时间是在跳同一支舞。")

第一主成分解释了这三只股票变动的 70.37%
这说明这三只股票虽然名字不同，但 80% 以上的时间是在跳同一支舞。

练习¶

1. 创建一个 5×5 的随机收益率矩阵，用矩阵乘法计算等权组合（权重各占 20%）每天的收益率。
2. 使用 np.linalg.eig() 手动计算一个 3×3 协方差矩阵的特征值和特征向量，并与 PCA 结果对比。
3. 对标普 500 中的 10 只股票跑 PCA，看第一主成分解释了多少比例的总方差？

---

下一节 → 01_price_and_return.ipynb （我们将把这些数学应用到真实的价格计算中）