1.2 风险与波动率¶

这一节讲什么？
上一节讲了「赚了多少」（收益率）。这一节讲「为了赚这些，你承担了多大的风险」。

金融里有句话：「没有免费的午餐。」 高收益往往伴随高风险。如何量化这个「风险」，就是本节的核心。

学习目标¶

理解金融风险的定义与度量方式
掌握波动率（Volatility）的计算
学会计算夏普比率（Sharpe Ratio）
理解最大回撤（Max Drawdown）

1. 这节究竟解决什么实际问题？¶

1.2 风险与波动率 的具体任务是：用波动率、下行风险和收益分布解释“收益高”为什么不等于“风险低”。本节将明确输入数据、计算过程、输出及其在后续研究中的用途。

2. 前置知识¶

会使用百分比和基础代数；建议先完成环境配置。对公式的理解应包括变量定义、单位、时间索引和适用条件。

3. 数据说明¶

示例优先使用仓库固定的日频复权收盘价；它不是实时行情，也不代表完整市场。运行前先检查 shape、日期范围、列名与缺失值。数据看起来能画图，不代表它适合回答研究问题。

4. 学习目标与完成标准¶

完成本节后，你应能用自己的话解释 1.2 风险与波动率 的输入、计算步骤、输出和局限；尤其能说明：用波动率、下行风险和收益分布解释“收益高”为什么不等于“风险低”。你还应能独立改动一个参数并解释结果为什么变化，指出至少一个会让结论失真的假设。

5. 核心概念与公式¶

价格表示资产在特定时点的水平，收益率表示两个时点之间的相对变化。多数跨资产比较使用收益率。

所有公式都先说明分子、分母、单位与时间尺度；年化前必须确认数据频率。看到公式时依次确认：每个符号的单位是什么？它属于哪个时点？分母会不会为零？它是描述性统计量、预测量，还是交易规则？

6. 从零实现¶

原始代码按照“准备输入 → 计算中间量 → 得到结果 → 解释输出”的顺序组织。每个单元应检查变量类型、索引、维度和代表性数值。中间变量用于核对公式实现和定位计算错误。

7. 成熟库实现¶

NumPy/Pandas 帮你算数和对齐索引；统计库帮你估计参数，但不替你解释经济含义。使用库函数前先阅读参数含义、默认值和返回对象；库输出一个数字，并不说明这个数字适合你的交易假设。

8. 两种实现的差异¶

从零实现便于核对公式、调试和识别隐含假设；成熟库适合在计算逻辑已验证后复用。两种实现依赖相同的数据口径与时点假设，使用库函数不会改变输入数据的质量。

9. 预期结果与检查范围¶

你应看到维度正确的 Series/DataFrame、日期单调递增的索引，以及能支持“用波动率、下行风险和收益分布解释“收益高”为什么不等于“风险低”。”这一任务的表格或图形。金融日收益率均值通常接近 0；若出现极大的连续收益、空表、全 NaN 或索引错位，应先排查数据和对齐逻辑，而不是立即相信结果。

10. 常见错误与诊断¶

把百分比和小数混用、忘记 dropna、把日频波动率直接叫作年化波动率、把相关性当因果。

诊断顺序：先打印类型与 shape，再看 head()/tail()，接着检查日期和 NaN，最后才比较数值。这样能避免在错误的对象上反复改参数。

11. 研究偏差检查¶

概念演示也要避免事后选择样本或只展示支持结论的时间段。结果至少应与一个简单基线比较，并明确哪些部分只是教学演示。

12. 三层练习与答案¶

基础练习：验证一个中间变量、补全一段小计算，并用一句话解释输出。
研究练习：改变窗口、样本区间、约束或标的，记录哪些结论仍成立。
开放项目：把本节方法嵌入模块项目，报告基线、失败结果和限制。

题目在 ../exercises/01_financial_concepts/02_risk_and_volatility_exercises.ipynb；完整推导、可运行参考实现与结果检查在 ../solutions/01_financial_concepts/02_risk_and_volatility_solutions.ipynb。请先独立作答，再打开答案。

13. 延伸阅读¶

延伸材料：Investments（Bodie, Kane, Marcus）。阅读记录应包括研究假设、数据频率、样本范围和结论适用条件。

14. 下一节¶

下一节是 03_market_basics。本节的概念会成为理解它的输入，而不是孤立的名词。

In [1]:

Copied!

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

In [2]:

Copied!





import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import yfinance as yf

plt.rcParams['figure.figsize'] = (12, 5)

# 下载数据（AAPL=苹果，TSLA=特斯拉，SPY=标普500指数基金 作为基准）
tickers = ['AAPL', 'TSLA', 'SPY']
data = yf.download(tickers, start='2021-01-01', end='2024-01-01',
                   progress=False)['Close']
returns = data.pct_change().dropna()
print('数据下载完成')
returns.tail(3)
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import yfinance as yf

plt.rcParams['figure.figsize'] = (12, 5)

# 下载数据（AAPL=苹果，TSLA=特斯拉，SPY=标普500指数基金 作为基准）
tickers = ['AAPL', 'TSLA', 'SPY']
data = yf.download(tickers, start='2021-01-01', end='2024-01-01',
                   progress=False)['Close']
returns = data.pct_change().dropna()
print('数据下载完成')
returns.tail(3)

数据下载完成

Out[2]:

Ticker
AAPL
SPY
TSLA

Date





2023-12-27
0.000518
0.001808
0.018822

2023-12-28
0.002226
0.000378
-0.031594

2023-12-29
-0.005424
-0.002895
-0.018564

In [ ]:

Copied!





# 默认使用固定样本，保证课程与 CI 不依赖实时接口。
USE_OFFLINE_DATA = True
if USE_OFFLINE_DATA:
    from pathlib import Path
    import sys
    docs_root = next(parent for parent in [Path.cwd(), *Path.cwd().parents]
                     if (parent / 'utils' / 'offline_data.py').exists())
    sys.path.insert(0, str(docs_root))
    from utils.offline_data import configure_yfinance_offline
    configure_yfinance_offline(yf)
else:
    print('在线下载为扩展步骤；请核对数据字段、时区和下载日期。')
# 默认使用固定样本，保证课程与 CI 不依赖实时接口。
USE_OFFLINE_DATA = True
if USE_OFFLINE_DATA:
    from pathlib import Path
    import sys
    docs_root = next(parent for parent in [Path.cwd(), *Path.cwd().parents]
                     if (parent / 'utils' / 'offline_data.py').exists())
    sys.path.insert(0, str(docs_root))
    from utils.offline_data import configure_yfinance_offline
    configure_yfinance_offline(yf)
else:
    print('在线下载为扩展步骤；请核对数据字段、时区和下载日期。')

1. 波动率（Volatility）¶

为什么用「波动率」来衡量风险？¶

想象两个同事每个月工资变化：

A：每月工资 10000 元，基本不变
B：某月 3000，下月 20000，后月 -5000（亏损）……

B 的「平均工资」可能也是 10000，但你敢把 B 的工资当可靠收入来还房贷吗？当然不敢，因为波动太大了，不确定性太高。

金融里的「风险」 = 收益率的不确定性 = 收益率的波动程度
数学上就是收益率的标准差（Standard Deviation）：

$$\sigma_{daily} = \text{std}(r_t) \quad \text{（日波动率）}$$

为什么要乘 $\sqrt{252}$ 年化？¶

一年有 252 个交易日，如果每天相互独立，方差会加 252 倍，标准差就要乘 $\sqrt{252}$：

$$\sigma_{annual} = \sigma_{daily} \times \sqrt{252} \quad \text{（年化波动率，方便跨期比较）}$$

In [3]:

Copied!





# 计算年化波动率
daily_vol = returns.std()
annual_vol = daily_vol * np.sqrt(252)

print('年化波动率（越高代表越动荡，风险越大）：')
for ticker in tickers:
    print(f'  {ticker:<6}: {annual_vol[ticker]:.2%}')

# 滚动波动率（20日）— 看波动率随时间的变化
rolling_vol = returns.rolling(20).std() * np.sqrt(252)

fig, ax = plt.subplots()
for ticker in tickers:
    ax.plot(rolling_vol.index, rolling_vol[ticker], label=ticker, linewidth=1.2)
ax.set_title('20日滚动年化波动率 — 市场危机时（2022年），波动率会飙升', fontsize=13)
ax.set_ylabel('年化波动率')
ax.yaxis.set_major_formatter(plt.FuncFormatter(lambda y, _: f'{y:.0%}'))
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
# 计算年化波动率
daily_vol = returns.std()
annual_vol = daily_vol * np.sqrt(252)

print('年化波动率（越高代表越动荡，风险越大）：')
for ticker in tickers:
    print(f'  {ticker:<6}: {annual_vol[ticker]:.2%}')

# 滚动波动率（20日）— 看波动率随时间的变化
rolling_vol = returns.rolling(20).std() * np.sqrt(252)

fig, ax = plt.subplots()
for ticker in tickers:
    ax.plot(rolling_vol.index, rolling_vol[ticker], label=ticker, linewidth=1.2)
ax.set_title('20日滚动年化波动率 — 市场危机时（2022年），波动率会飙升', fontsize=13)
ax.set_ylabel('年化波动率')
ax.yaxis.set_major_formatter(plt.FuncFormatter(lambda y, _: f'{y:.0%}'))
ax.legend()
ax.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

年化波动率（越高代表越动荡，风险越大）：
  AAPL  : 27.80%
  TSLA  : 58.89%
  SPY   : 17.60%

No description has been provided for this image

2. 夏普比率（Sharpe Ratio）¶

为什么不能只看收益率？¶

假设两个策略：

策略 A：年化收益 20%，年化波动 10%（收益稳定地涨）
策略 B：年化收益 20%，年化波动 60%（大起大落，心跳加速）

两个都赚了 20%，但你愿意用哪个？大多数人选 A，因为同样的收益率，风险小得多。

夏普比率解决的正是这个问题：单位风险能赚多少「超额」收益。

$$SR = \frac{\bar{r} - r_f}{\sigma}$$

$\bar{r}$：策略年化收益率
$r_f$：无风险利率（把钱存银行/买国债的收益，不承担任何风险也能赚到的）
$\bar{r} - r_f$：超额收益（你比「不冒险」多赚的部分）
$\sigma$：你为这个超额收益承担的风险（波动率）

夏普比率的解读（经验参考）：

夏普比率	解读
< 0	还不如存银行
0 ~ 0.5	勉强
0.5 ~ 1	可以接受
1 ~ 2	良好
> 2	优秀（大型基金能做到 1 就已经不错了）

In [4]:

Copied!





risk_free_rate = 0.04  # 假设无风险利率 4%（美国国债水平）

annual_ret = returns.mean() * 252
sharpe = (annual_ret - risk_free_rate) / annual_vol

print(f'\n{"资产":<8} {"年化收益":<12} {"年化波动":<12} {"夏普比率"}')
print('-' * 45)
for ticker in tickers:
    print(f'{ticker:<8} {annual_ret[ticker]:<12.2%} {annual_vol[ticker]:<12.2%} {sharpe[ticker]:.2f}')

# 可视化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
colors = ['steelblue' if s > 0 else 'salmon' for s in sharpe.values]
bars = ax.bar(tickers, sharpe.values, color=colors, edgecolor='white', linewidth=1.5)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.axhline(1, color='green', linestyle='--', alpha=0.5, label='夏普=1（良好标准线）')
ax.set_title('各资产夏普比率对比 — TSLA 高收益但风险高，SPY 相对稳健', fontsize=13)
ax.set_ylabel('Sharpe Ratio')
ax.legend()
for bar, val in zip(bars, sharpe.values):
    ax.text(bar.get_x() + bar.get_width() / 2, bar.get_height() + 0.02,
            f'{val:.2f}', ha='center', fontsize=11)
plt.tight_layout()
plt.show()
risk_free_rate = 0.04  # 假设无风险利率 4%（美国国债水平）

annual_ret = returns.mean() * 252
sharpe = (annual_ret - risk_free_rate) / annual_vol

print(f'\n{"资产":<8} {"年化收益":<12} {"年化波动":<12} {"夏普比率"}')
print('-' * 45)
for ticker in tickers:
    print(f'{ticker:<8} {annual_ret[ticker]:<12.2%} {annual_vol[ticker]:<12.2%} {sharpe[ticker]:.2f}')

# 可视化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
colors = ['steelblue' if s > 0 else 'salmon' for s in sharpe.values]
bars = ax.bar(tickers, sharpe.values, color=colors, edgecolor='white', linewidth=1.5)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.axhline(1, color='green', linestyle='--', alpha=0.5, label='夏普=1（良好标准线）')
ax.set_title('各资产夏普比率对比 — TSLA 高收益但风险高，SPY 相对稳健', fontsize=13)
ax.set_ylabel('Sharpe Ratio')
ax.legend()
for bar, val in zip(bars, sharpe.values):
    ax.text(bar.get_x() + bar.get_width() / 2, bar.get_height() + 0.02,
            f'{val:.2f}', ha='center', fontsize=11)
plt.tight_layout()
plt.show()

资产       年化收益         年化波动         夏普比率
---------------------------------------------
AAPL     17.76%       27.80%       0.49
TSLA     18.02%       58.89%       0.24
SPY      11.54%       17.60%       0.43

3. 最大回撤（Maximum Drawdown）¶

为什么需要最大回撤？¶

夏普比率衡量「平均」水平的风险收益比，但有时候平均数会骗人。

想象一个策略：前三年每年赚 30%，然后第四年突然亏了 80%。平均年化收益可能还是正的，但……问题是，在亏 80% 发生之前，你的账户会从高峰跌到谷底，跌了 80%。这个过程让你心理崩溃，你可能早就割肉离场了。

最大回撤就是衡量这个「最惨烈的连跌」有多深。

从历史某个高点出发，跌到最深的那个谷底，跌了多少百分比？

$$MDD = \max_{t} \left(\frac{\text{峰值} - \text{当前值}}{\text{峰值}}\right)$$

最大回撤 < 10%：非常稳健（大型对冲基金的目标）
最大回撤 20%~50%：个人可以接受，但要有心理准备
最大回撤 > 50%：除非你铁石心肠，否则很难拿住到反弹

In [ ]:

Copied!





def max_drawdown(returns_series):
    """计算回撤序列和最大回撤"""
    cum_ret = (1 + returns_series).cumprod()      # 累积净值 （连乘）
    rolling_max = cum_ret.cummax()                 # 历史最高点（随时间更新）
    drawdown = (cum_ret - rolling_max) / rolling_max  # 当前离最高点跌了多少
    return drawdown, drawdown.min()

fig, axes = plt.subplots(len(tickers), 1, figsize=(12, 10), sharex=True)

for ax, ticker in zip(axes, tickers):
    dd, mdd = max_drawdown(returns[ticker])
    ax.fill_between(dd.index, dd.values, 0, color='red', alpha=0.4)
    ax.plot(dd.index, dd.values, color='darkred', linewidth=0.8)
    ax.set_title(f'{ticker}  |  最大回撤: {mdd:.2%}  （从最高点最多跌过这么多）', fontsize=11)
    ax.set_ylabel('回撤')
    ax.yaxis.set_major_formatter(plt.FuncFormatter(lambda y, _: f'{y:.0%}'))
    ax.grid(alpha=0.3)

plt.suptitle('各资产回撤曲线对比 — 面积越大、越深，说明持有体验越痛苦', fontsize=13, y=1.01)
plt.tight_layout()
plt.show()
def max_drawdown(returns_series):
    """计算回撤序列和最大回撤"""
    cum_ret = (1 + returns_series).cumprod()      # 累积净值 （连乘）
    rolling_max = cum_ret.cummax()                 # 历史最高点（随时间更新）
    drawdown = (cum_ret - rolling_max) / rolling_max  # 当前离最高点跌了多少
    return drawdown, drawdown.min()

fig, axes = plt.subplots(len(tickers), 1, figsize=(12, 10), sharex=True)

for ax, ticker in zip(axes, tickers):
    dd, mdd = max_drawdown(returns[ticker])
    ax.fill_between(dd.index, dd.values, 0, color='red', alpha=0.4)
    ax.plot(dd.index, dd.values, color='darkred', linewidth=0.8)
    ax.set_title(f'{ticker}  |  最大回撤: {mdd:.2%}  （从最高点最多跌过这么多）', fontsize=11)
    ax.set_ylabel('回撤')
    ax.yaxis.set_major_formatter(plt.FuncFormatter(lambda y, _: f'{y:.0%}'))
    ax.grid(alpha=0.3)

plt.suptitle('各资产回撤曲线对比 — 面积越大、越深，说明持有体验越痛苦', fontsize=13, y=1.01)
plt.tight_layout()
plt.show()

4. 汇总风险指标¶

把四个核心指标放在一张表里对比，这就是量化评估一个策略/资产时的标准格式：

In [6]:

Copied!





summary = pd.DataFrame(index=tickers)
summary['年化收益率'] = annual_ret.map('{:.2%}'.format)
summary['年化波动率'] = annual_vol.map('{:.2%}'.format)
summary['夏普比率'] = sharpe.map('{:.2f}'.format)
summary['最大回撤'] = {t: f'{max_drawdown(returns[t])[1]:.2%}' for t in tickers}
summary
summary = pd.DataFrame(index=tickers)
summary['年化收益率'] = annual_ret.map('{:.2%}'.format)
summary['年化波动率'] = annual_vol.map('{:.2%}'.format)
summary['夏普比率'] = sharpe.map('{:.2f}'.format)
summary['最大回撤'] = {t: f'{max_drawdown(returns[t])[1]:.2%}' for t in tickers}
summary

Out[6]:

年化收益率
年化波动率
夏普比率
最大回撤


AAPL
17.76%
27.80%
0.49
-30.91%

TSLA
18.02%
58.89%
0.24
-73.63%

SPY
11.54%
17.60%
0.43
-24.50%

练习¶

增加另一个资产（如债券 ETF 'TLT'）并对比其风险特征。（债券和股票的风险特征有什么不同？）
计算 2022 年熊市期间（2022-01-01 至 2022-12-31）各资产的最大回撤。
思考题：波动率高一定是坏事吗？结合夏普比率谈谈——如果波动率翻倍但收益率也翻倍，夏普比率会怎么变？

下一节 → 03_market_basics.ipynb

In [ ]:

Ticker	AAPL	SPY	TSLA
Date
2023-12-27	0.000518	0.001808	0.018822
2023-12-28	0.002226	0.000378	-0.031594
2023-12-29	-0.005424	-0.002895	-0.018564

	年化收益率	年化波动率	夏普比率	最大回撤
AAPL	17.76%	27.80%	0.49	-30.91%
TSLA	18.02%	58.89%	0.24	-73.63%
SPY	11.54%	17.60%	0.43	-24.50%