10.2 线性规划与投资组合优化¶

学习目标¶

• 理解线性规划（LP）的标准形式和几何直觉
• 用 scipy.optimize.linprog 求解 LP 问题
• 在因子中性约束下最大化预期 Alpha
• 与 Markowitz 二次规划（QP）的对比

1. 这节究竟解决什么实际问题？¶

10.2 线性规划与投资组合优化 的具体任务是：把投资限制翻译为线性目标和约束，并检查可行性。 本节将明确输入数据、计算过程、输出及其在后续研究中的用途。

2. 前置知识¶

掌握基础代数、概率和 Python 数组操作。 对公式的理解应包括变量定义、单位、时间索引和适用条件。

3. 数据说明¶

使用模拟或固定教学数据；重点是说明模型假设、估计误差和数值误差。 运行前先检查 shape、日期范围、列名与缺失值。数据看起来能画图，不代表它适合回答研究问题。

4. 学习目标与完成标准¶

完成本节后，你应能用自己的话解释 10.2 线性规划与投资组合优化 的输入、计算步骤、输出和局限；尤其能说明：把投资限制翻译为线性目标和约束，并检查可行性。 你还应能独立改动一个参数并解释结果为什么变化，指出至少一个会让结论失真的假设。

5. 核心概念与公式¶

数学方法给出明确的计算规则；结论是否有效仍取决于研究对象、输入数据和模型假设。

先给出符号、单位、假设和可识别条件，再把公式翻译为逐步代码。 看到公式时依次确认：每个符号的单位是什么？它属于哪个时点？分母会不会为零？它是描述性统计量、预测量，还是交易规则？

6. 从零实现¶

原始代码按照“准备输入 → 计算中间量 → 得到结果 → 解释输出”的顺序组织。每个单元应检查变量类型、索引、维度和代表性数值。中间变量用于核对公式实现和定位计算错误。

7. 成熟库实现¶

数值库帮你稳定求解；理解目标函数、约束和诊断仍不可省略。 使用库函数前先阅读参数含义、默认值和返回对象；库输出一个数字，并不说明这个数字适合你的交易假设。

8. 两种实现的差异¶

从零实现便于核对公式、调试和识别隐含假设；成熟库适合在计算逻辑已验证后复用。两种实现依赖相同的数据口径与时点假设，使用库函数不会改变输入数据的质量。

9. 预期结果与检查范围¶

你应看到维度正确的 Series/DataFrame、日期单调递增的索引，以及能支持“把投资限制翻译为线性目标和约束，并检查可行性。”这一任务的表格或图形。金融日收益率均值通常接近 0；若出现极大的连续收益、空表、全 NaN 或索引错位，应先排查数据和对齐逻辑，而不是立即相信结果。

10. 常见错误与诊断¶

随机种子未固定、矩阵维度错配、优化约束遗漏、把数值收敛当成模型正确。

诊断顺序：先打印类型与 shape，再看 head()/tail()，接着检查日期和 NaN，最后才比较数值。这样能避免在错误的对象上反复改参数。

11. 研究偏差检查¶

数学模型的简化假设也会引入偏差；需要做参数敏感性与极端情景检查。 结果至少应与一个简单基线比较，并明确哪些部分只是教学演示。

12. 三层练习与答案¶

• 基础练习：验证一个中间变量、补全一段小计算，并用一句话解释输出。
• 研究练习：改变窗口、样本区间、约束或标的，记录哪些结论仍成立。
• 开放项目：把本节方法嵌入模块项目，报告基线、失败结果和限制。

题目在 ../exercises/10_math_methods/02_linear_programming_exercises.ipynb；完整推导、可运行参考实现与结果检查在 ../solutions/10_math_methods/02_linear_programming_solutions.ipynb。请先独立作答，再打开答案。

13. 延伸阅读¶

延伸材料：QuantEcon Python Lectures。阅读记录应包括研究假设、数据频率、样本范围和结论适用条件。

14. 下一节¶

下一节是 03_markov_chains。本节的概念会成为理解它的输入，而不是孤立的名词。

In [1]:

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import linprog, minimize
np.random.seed(42)
print('Libraries loaded')

import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt from scipy.optimize import linprog, minimize np.random.seed(42) print('Libraries loaded')

Libraries loaded

In [2]:

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

import matplotlib.pyplot as plt # 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei） plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei'] # 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

1. 线性规划（LP）的基本形式¶

$$\min_{x} \quad c^\top x$$ $$\text{s.t.} \quad A_{ub}x \leq b_{ub}, \quad A_{eq}x = b_{eq}, \quad l \leq x \leq u$$

在量化组合优化中，LP 比 QP（二次规划）更适合以下场景：

• 最大化预期超额收益（线性目标），约束换手率、行业中性、因子中性
• 在交易成本为线性假设下的最优执行
• 多空策略的最优杠杆分配

In [3]:

# 简单示例：在预算约束下最大化预期收益
np.random.seed(42)
n = 10  # 10 只股票
expected_returns = np.random.normal(0.10, 0.05, n)  # 预期年化收益率

# LP：最大化 μ^T x 即最小化 -μ^T x
# 约束: sum(x) = 1 (满仓)
#       0 <= x_i <= 0.15 (最大单股 15%)
c_lp = -expected_returns  # 最小化负收益 = 最大化收益

A_eq = np.ones((1, n))   # sum(x) = 1
b_eq = [1.0]
bounds = [(0, 0.15) for _ in range(n)]  # 0 ≤ x_i ≤ 15%

result = linprog(c_lp, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds, method='highs')
x_lp = result.x

print('LP 最优组合权重:')
for i, (ret, w) in enumerate(zip(expected_returns, x_lp)):
    if w > 0.001:
        print(f'  股票{i+1}: 预期收益={ret:.3f}, 权重={w:.4f}')
print(f'\n预期组合收益: {np.dot(x_lp, expected_returns):.4f}')
print(f'注意: LP 通常产生集中投资（只持有预期收益最高的几只股票）')

# 简单示例：在预算约束下最大化预期收益 np.random.seed(42) n = 10 # 10 只股票 expected_returns = np.random.normal(0.10, 0.05, n) # 预期年化收益率 # LP：最大化 μ^T x 即最小化 -μ^T x # 约束: sum(x) = 1 (满仓) # 0 <= x_i <= 0.15 (最大单股 15%) c_lp = -expected_returns # 最小化负收益 = 最大化收益 A_eq = np.ones((1, n)) # sum(x) = 1 b_eq = [1.0] bounds = [(0, 0.15) for _ in range(n)] # 0 ≤ x_i ≤ 15% result = linprog(c_lp, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds, method='highs') x_lp = result.x print('LP 最优组合权重:') for i, (ret, w) in enumerate(zip(expected_returns, x_lp)): if w > 0.001: print(f' 股票{i+1}: 预期收益={ret:.3f}, 权重={w:.4f}') print(f'\n预期组合收益: {np.dot(x_lp, expected_returns):.4f}') print(f'注意: LP 通常产生集中投资（只持有预期收益最高的几只股票）')

LP 最优组合权重:
  股票1: 预期收益=0.125, 权重=0.1500
  股票2: 预期收益=0.093, 权重=0.1000
  股票3: 预期收益=0.132, 权重=0.1500
  股票4: 预期收益=0.176, 权重=0.1500
  股票7: 预期收益=0.179, 权重=0.1500
  股票8: 预期收益=0.138, 权重=0.1500
  股票10: 预期收益=0.127, 权重=0.1500

预期组合收益: 0.1410
注意: LP 通常产生集中投资（只持有预期收益最高的几只股票）

2. 因子中性约束下的 LP 最大化 Alpha¶

在多因子风险模型中，我们希望组合：

1. 最大化 Alpha（预期超额收益）
2. 因子中性：对市场因子、规模因子等的暴露为零
3. 行业中性：各行业权重等于基准

In [4]:

# 模拟因子暴露和 Alpha
np.random.seed(42)
n_stocks = 20
n_factors = 3  # 市场、规模、价值

alpha = np.random.normal(0.02, 0.01, n_stocks)  # 各股 Alpha
factor_loadings = np.random.normal(0, 1, (n_stocks, n_factors))  # 因子载荷
benchmark_weights = np.ones(n_stocks) / n_stocks  # 等权基准
benchmark_factor_exp = factor_loadings.T @ benchmark_weights

# LP 目标：最大化 Alpha = 最小化 -Alpha
c = -alpha

# 等式约束：
# 1. 权重之和 = 1
# 2. 因子暴露 = 基准因子暴露（因子中性）
A_eq_parts = [np.ones((1, n_stocks))]  # sum(w) = 1
for j in range(n_factors):
    A_eq_parts.append(factor_loadings[:, j].reshape(1, -1))

A_eq = np.vstack(A_eq_parts)
b_eq = np.concatenate([[1.0], benchmark_factor_exp])
bounds_lp = [(-0.05, 0.10) for _ in range(n_stocks)]  # 允许小空头

try:
    result = linprog(c, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds_lp, method='highs')
    if result.success:
        w_optimal = result.x
        portfolio_alpha = np.dot(w_optimal, alpha)
        print('优化求解成功。')
        print(f'组合 Alpha: {portfolio_alpha:.4f} ({portfolio_alpha:.2%})')
        print(f'等权基准 Alpha: {np.dot(benchmark_weights, alpha):.4f} ({np.dot(benchmark_weights, alpha):.2%})')
        print(f'超额 Alpha: {portfolio_alpha - np.dot(benchmark_weights, alpha):.4f}')
        print(f'\n持仓分布: 正多头={sum(w_optimal>0.01)} 只, 轻空头={sum(w_optimal<-0.001)} 只')
    else:
        print('优化未收敛：', result.message)
except Exception as e:
    print(f'Error: {e}')

# 模拟因子暴露和 Alpha np.random.seed(42) n_stocks = 20 n_factors = 3 # 市场、规模、价值 alpha = np.random.normal(0.02, 0.01, n_stocks) # 各股 Alpha factor_loadings = np.random.normal(0, 1, (n_stocks, n_factors)) # 因子载荷 benchmark_weights = np.ones(n_stocks) / n_stocks # 等权基准 benchmark_factor_exp = factor_loadings.T @ benchmark_weights # LP 目标：最大化 Alpha = 最小化 -Alpha c = -alpha # 等式约束： # 1. 权重之和 = 1 # 2. 因子暴露 = 基准因子暴露（因子中性） A_eq_parts = [np.ones((1, n_stocks))] # sum(w) = 1 for j in range(n_factors): A_eq_parts.append(factor_loadings[:, j].reshape(1, -1)) A_eq = np.vstack(A_eq_parts) b_eq = np.concatenate([[1.0], benchmark_factor_exp]) bounds_lp = [(-0.05, 0.10) for _ in range(n_stocks)] # 允许小空头 try: result = linprog(c, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds_lp, method='highs') if result.success: w_optimal = result.x portfolio_alpha = np.dot(w_optimal, alpha) print('优化求解成功。') print(f'组合 Alpha: {portfolio_alpha:.4f} ({portfolio_alpha:.2%})') print(f'等权基准 Alpha: {np.dot(benchmark_weights, alpha):.4f} ({np.dot(benchmark_weights, alpha):.2%})') print(f'超额 Alpha: {portfolio_alpha - np.dot(benchmark_weights, alpha):.4f}') print(f'\n持仓分布: 正多头={sum(w_optimal>0.01)} 只, 轻空头={sum(w_optimal<-0.001)} 只') else: print('优化未收敛：', result.message) except Exception as e: print(f'Error: {e}')

优化求解成功。
组合 Alpha: 0.0283 (2.83%)
等权基准 Alpha: 0.0183 (1.83%)
超额 Alpha: 0.0100

持仓分布: 正多头=14 只, 轻空头=6 只

3. LP vs QP（Markowitz）对比¶

In [5]:

# 对比 LP 和 Markowitz QP 在相同约束下的解
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
expected_ret = np.random.normal(0.08, 0.04, n_stocks)

# LP 解（纯最大化 Alpha，忽略风险）
c_lp = -expected_ret
bounds_simple = [(0, 0.15)] * n_stocks
A_eq_simple = np.ones((1, n_stocks))
b_eq_simple = [1.0]
res_lp = linprog(c_lp, A_eq=A_eq_simple, b_eq=b_eq_simple, bounds=bounds_simple, method='highs')

# QP：minimize -μ^T w + λ w^T Σ w（Markowitz，简化用对角协方差）
vols = np.random.uniform(0.1, 0.3, n_stocks)
Cov = np.diag(vols**2)  # 简化：无相关性
lambda_risk = 5  # 风险厌恶系数

def neg_utility(w):
    return -np.dot(w, expected_ret) + lambda_risk * w @ Cov @ w

constraints = [{'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1}]
bounds_qp = [(0, 0.15)] * n_stocks
w0 = np.ones(n_stocks) / n_stocks
res_qp = minimize(neg_utility, w0, method='SLSQP',
                  constraints=constraints, bounds=bounds_qp)

axes[0].bar(range(n_stocks), res_lp.x, color='steelblue', alpha=0.7, label='LP（纯收益最大）')
axes[0].bar(range(n_stocks), res_qp.x, color='darkorange', alpha=0.7, label='QP Markowitz')
axes[0].set_title('LP vs QP 持仓权重对比')
axes[0].set_xlabel('股票'); axes[0].set_ylabel('权重'); axes[0].legend()

concentration = pd.Series([res_lp.x, res_qp.x],
    index=['LP（最大收益）', 'QP Markowitz'])
concentration.apply(lambda w: sum(np.array(w) > 0.01)).plot(kind='bar', ax=axes[1], color=['steelblue', 'darkorange'])
axes[1].set_title('持仓只数对比（权重>1%）'); axes[1].set_ylabel('持仓数')
plt.tight_layout(); plt.show()
print('结论：LP 给出极端集中组合，QP 考虑风险后给出更分散的组合')

# 对比 LP 和 Markowitz QP 在相同约束下的解 fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5)) expected_ret = np.random.normal(0.08, 0.04, n_stocks) # LP 解（纯最大化 Alpha，忽略风险） c_lp = -expected_ret bounds_simple = [(0, 0.15)] * n_stocks A_eq_simple = np.ones((1, n_stocks)) b_eq_simple = [1.0] res_lp = linprog(c_lp, A_eq=A_eq_simple, b_eq=b_eq_simple, bounds=bounds_simple, method='highs') # QP：minimize -μ^T w + λ w^T Σ w（Markowitz，简化用对角协方差） vols = np.random.uniform(0.1, 0.3, n_stocks) Cov = np.diag(vols**2) # 简化：无相关性 lambda_risk = 5 # 风险厌恶系数 def neg_utility(w): return -np.dot(w, expected_ret) + lambda_risk * w @ Cov @ w constraints = [{'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1}] bounds_qp = [(0, 0.15)] * n_stocks w0 = np.ones(n_stocks) / n_stocks res_qp = minimize(neg_utility, w0, method='SLSQP', constraints=constraints, bounds=bounds_qp) axes[0].bar(range(n_stocks), res_lp.x, color='steelblue', alpha=0.7, label='LP（纯收益最大）') axes[0].bar(range(n_stocks), res_qp.x, color='darkorange', alpha=0.7, label='QP Markowitz') axes[0].set_title('LP vs QP 持仓权重对比') axes[0].set_xlabel('股票'); axes[0].set_ylabel('权重'); axes[0].legend() concentration = pd.Series([res_lp.x, res_qp.x], index=['LP（最大收益）', 'QP Markowitz']) concentration.apply(lambda w: sum(np.array(w) > 0.01)).plot(kind='bar', ax=axes[1], color=['steelblue', 'darkorange']) axes[1].set_title('持仓只数对比（权重>1%）'); axes[1].set_ylabel('持仓数') plt.tight_layout(); plt.show() print('结论：LP 给出极端集中组合，QP 考虑风险后给出更分散的组合')

结论：LP 给出极端集中组合，QP 考虑风险后给出更分散的组合

练习¶

1. 在 LP 优化中增加「最大换手率」约束（与等权基准相比），观察最优 Alpha 如何随换手率上限变化。
2. 实现一个「最小化组合跟踪误差」的 LP（允许小幅超配/低配），目标是最接近基准同时最大化 Alpha。
3. 研究 scipy 的 milp（混合整数线性规划），当允许持仓数量 ≤ 10 时重新求解上述问题。

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下一节 → 03_markov_chains.ipynb

In [ ]: