1. 这节究竟解决什么实际问题？¶
1.5 ARCH/GARCH 波动率聚集建模 的具体任务是：识别波动率聚集，并比较历史波动率与条件波动率预测的用途。 本节将明确输入数据、计算过程、输出及其在后续研究中的用途。
2. 前置知识¶
会使用百分比和基础代数；建议先完成环境配置。 对公式的理解应包括变量定义、单位、时间索引和适用条件。
3. 数据说明¶
示例优先使用仓库固定的日频复权收盘价；它不是实时行情，也不代表完整市场。 运行前先检查 shape、日期范围、列名与缺失值。数据看起来能画图，不代表它适合回答研究问题。
4. 学习目标与完成标准¶
完成本节后，你应能用自己的话解释 1.5 ARCH/GARCH 波动率聚集建模 的输入、计算步骤、输出和局限；尤其能说明：识别波动率聚集，并比较历史波动率与条件波动率预测的用途。 你还应能独立改动一个参数并解释结果为什么变化，指出至少一个会让结论失真的假设。
5. 核心概念与公式¶
价格表示资产在特定时点的水平，收益率表示两个时点之间的相对变化。多数跨资产比较使用收益率。
所有公式都先说明分子、分母、单位与时间尺度；年化前必须确认数据频率。 看到公式时依次确认：每个符号的单位是什么？它属于哪个时点？分母会不会为零？它是描述性统计量、预测量，还是交易规则？
6. 从零实现¶
原始代码按照“准备输入 → 计算中间量 → 得到结果 → 解释输出”的顺序组织。每个单元应检查变量类型、索引、维度和代表性数值。中间变量用于核对公式实现和定位计算错误。
7. 成熟库实现¶
NumPy/Pandas 帮你算数和对齐索引；统计库帮你估计参数，但不替你解释经济含义。 使用库函数前先阅读参数含义、默认值和返回对象；库输出一个数字，并不说明这个数字适合你的交易假设。
8. 两种实现的差异¶
从零实现便于核对公式、调试和识别隐含假设；成熟库适合在计算逻辑已验证后复用。两种实现依赖相同的数据口径与时点假设，使用库函数不会改变输入数据的质量。
9. 预期结果与检查范围¶
你应看到维度正确的 Series/DataFrame、日期单调递增的索引，以及能支持“识别波动率聚集，并比较历史波动率与条件波动率预测的用途。”这一任务的表格或图形。金融日收益率均值通常接近 0；若出现极大的连续收益、空表、全 NaN 或索引错位，应先排查数据和对齐逻辑，而不是立即相信结果。
10. 常见错误与诊断¶
把百分比和小数混用、忘记 dropna、把日频波动率直接叫作年化波动率、把相关性当因果。
诊断顺序：先打印类型与 shape，再看 head()/tail()，接着检查日期和 NaN，最后才比较数值。这样能避免在错误的对象上反复改参数。
11. 研究偏差检查¶
概念演示也要避免事后选择样本或只展示支持结论的时间段。 结果至少应与一个简单基线比较，并明确哪些部分只是教学演示。
12. 三层练习与答案¶
- 基础练习：验证一个中间变量、补全一段小计算，并用一句话解释输出。
- 研究练习：改变窗口、样本区间、约束或标的，记录哪些结论仍成立。
- 开放项目：把本节方法嵌入模块项目，报告基线、失败结果和限制。
题目在 ../exercises/01_financial_concepts/05_garch_volatility_exercises.ipynb；完整推导、可运行参考实现与结果检查在 ../solutions/01_financial_concepts/05_garch_volatility_solutions.ipynb。请先独立作答，再打开答案。
13. 延伸阅读¶
延伸材料：Investments（Bodie, Kane, Marcus）。阅读记录应包括研究假设、数据频率、样本范围和结论适用条件。
14. 下一节¶
下一节是 06_statistics_fundamentals。本节的概念会成为理解它的输入，而不是孤立的名词。
In [1]:
Copied!
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
np.random.seed(42)
print("依赖库加载完毕 ")
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
np.random.seed(42)
print("依赖库加载完毕 ")
依赖库加载完毕
In [2]:
Copied!
import matplotlib.pyplot as plt
# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']
# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
import matplotlib.pyplot as plt
# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']
# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
1. 波动率聚集（Volatility Clustering）的直观展示¶
Random Walk（随机游走）假设收益率是 i.i.d. 正态分布——每天的波动率都是一样的常数。 但真实金融数据并非如此。
In [3]:
Copied!
# 模拟两种收益率序列：iid 正态 vs GARCH(1,1)
n = 1000
# A. 简单 iid 正态（不现实）
iid_returns = np.random.normal(0, 0.01, n)
# B. 手动模拟 GARCH(1,1) 的波动率聚集
# sigma_t^2 = omega + alpha * epsilon_{t-1}^2 + beta * sigma_{t-1}^2
omega = 0.00001
alpha = 0.15
beta = 0.80
sigma2 = np.zeros(n)
garch_returns = np.zeros(n)
sigma2[0] = omega / (1 - alpha - beta) # 无条件方差
for t in range(1, n):
sigma2[t] = omega + alpha * garch_returns[t-1]**2 + beta * sigma2[t-1]
garch_returns[t] = np.random.normal(0, np.sqrt(sigma2[t]))
# 可视化对比
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 8))
axes[0,0].plot(iid_returns, color='steelblue', alpha=0.7, linewidth=0.8)
axes[0,0].set_title('IID 正态收益率（无波动率聚集）')
axes[0,0].set_ylabel('每日收益率')
axes[0,1].plot(garch_returns, color='darkorange', alpha=0.7, linewidth=0.8)
axes[0,1].set_title('GARCH(1,1) 模拟收益率（有波动率聚集）')
axes[0,1].set_ylabel('每日收益率')
axes[1,0].plot(iid_returns**2, color='steelblue', alpha=0.7, linewidth=0.8)
axes[1,0].set_title('IID 平方收益率（代理波动率）- 无规律随机')
axes[1,0].set_ylabel('收益率²')
axes[1,1].plot(sigma2, color='red', alpha=0.8, linewidth=1.0)
axes[1,1].set_title('GARCH(1,1) 条件方差 σ²_t（明显聚集）')
axes[1,1].set_ylabel('条件方差 σ²')
plt.suptitle('IID vs GARCH(1,1)：波动率聚集的证明', fontsize=13)
plt.tight_layout()
plt.show()
print("注意 GARCH 右上图：有些时期波动率持续升高（如金融危机），有些时期持续平静")
# 模拟两种收益率序列：iid 正态 vs GARCH(1,1)
n = 1000
# A. 简单 iid 正态（不现实）
iid_returns = np.random.normal(0, 0.01, n)
# B. 手动模拟 GARCH(1,1) 的波动率聚集
# sigma_t^2 = omega + alpha * epsilon_{t-1}^2 + beta * sigma_{t-1}^2
omega = 0.00001
alpha = 0.15
beta = 0.80
sigma2 = np.zeros(n)
garch_returns = np.zeros(n)
sigma2[0] = omega / (1 - alpha - beta) # 无条件方差
for t in range(1, n):
sigma2[t] = omega + alpha * garch_returns[t-1]**2 + beta * sigma2[t-1]
garch_returns[t] = np.random.normal(0, np.sqrt(sigma2[t]))
# 可视化对比
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 8))
axes[0,0].plot(iid_returns, color='steelblue', alpha=0.7, linewidth=0.8)
axes[0,0].set_title('IID 正态收益率（无波动率聚集）')
axes[0,0].set_ylabel('每日收益率')
axes[0,1].plot(garch_returns, color='darkorange', alpha=0.7, linewidth=0.8)
axes[0,1].set_title('GARCH(1,1) 模拟收益率（有波动率聚集）')
axes[0,1].set_ylabel('每日收益率')
axes[1,0].plot(iid_returns**2, color='steelblue', alpha=0.7, linewidth=0.8)
axes[1,0].set_title('IID 平方收益率（代理波动率）- 无规律随机')
axes[1,0].set_ylabel('收益率²')
axes[1,1].plot(sigma2, color='red', alpha=0.8, linewidth=1.0)
axes[1,1].set_title('GARCH(1,1) 条件方差 σ²_t（明显聚集）')
axes[1,1].set_ylabel('条件方差 σ²')
plt.suptitle('IID vs GARCH(1,1)：波动率聚集的证明', fontsize=13)
plt.tight_layout()
plt.show()
print("注意 GARCH 右上图：有些时期波动率持续升高（如金融危机），有些时期持续平静")
注意 GARCH 右上图：有些时期波动率持续升高（如金融危机），有些时期持续平静
2. ARCH 模型原理¶
ARCH(p) - Autoregressive Conditional Heteroskedasticity（自回归条件异方差）
Engle（1982，获得诺贝尔经济学奖）提出：条件方差依赖于过去 p 个残差的平方：
$$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \epsilon_{t-i}^2$$
GARCH(p,q) - Generalized ARCH
Bollerslev（1986）在 ARCH 基础上加入了波动率的自回归项：
$$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q} \beta_j \sigma_{t-j}^2$$
最常用的 GARCH(1,1) 公式： $$\sigma_t^2 = \omega + \alpha \epsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$$
其中：
- $\omega$ (omega)：长期背景方差
- $\alpha$：ARCH 效应（短期冲击持久性）
- $\beta$：GARCH 效应（长期波动率记忆性）
- 平稳条件：$\alpha + \beta < 1$（否则条件方差会爆炸）
In [4]:
Copied!
# 检验 ARCH 效应：Ljung-Box 对平方残差的自相关性检验
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
# 对模拟 GARCH 数据计算平方收益率的自相关
lb_garch = acorr_ljungbox(garch_returns**2, lags=10, return_df=True)
lb_iid = acorr_ljungbox(iid_returns**2, lags=10, return_df=True)
print("GARCH 模拟数据 - 平方收益率的 Ljung-Box 检验（p值越小越有 ARCH 效应）：")
print(lb_garch[['lb_stat', 'lb_pvalue']].round(4))
print("\nIID 数据 - 平方收益率的 Ljung-Box 检验：")
print(lb_iid[['lb_stat', 'lb_pvalue']].round(4))
# 检验 ARCH 效应：Ljung-Box 对平方残差的自相关性检验
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
# 对模拟 GARCH 数据计算平方收益率的自相关
lb_garch = acorr_ljungbox(garch_returns**2, lags=10, return_df=True)
lb_iid = acorr_ljungbox(iid_returns**2, lags=10, return_df=True)
print("GARCH 模拟数据 - 平方收益率的 Ljung-Box 检验（p值越小越有 ARCH 效应）：")
print(lb_garch[['lb_stat', 'lb_pvalue']].round(4))
print("\nIID 数据 - 平方收益率的 Ljung-Box 检验：")
print(lb_iid[['lb_stat', 'lb_pvalue']].round(4))
GARCH 模拟数据 - 平方收益率的 Ljung-Box 检验（p值越小越有 ARCH 效应）：
lb_stat lb_pvalue
1 181.6585 0.0
2 282.2214 0.0
3 385.7022 0.0
4 490.9699 0.0
5 565.0586 0.0
6 581.4905 0.0
7 586.8447 0.0
8 601.2193 0.0
9 607.1268 0.0
10 612.1537 0.0
IID 数据 - 平方收益率的 Ljung-Box 检验：
lb_stat lb_pvalue
1 0.4824 0.4873
2 2.3138 0.3145
3 2.6666 0.4459
4 2.8504 0.5832
5 3.1593 0.6754
6 4.2655 0.6408
7 4.4086 0.7317
8 4.7392 0.7851
9 6.1032 0.7296
10 6.2194 0.7965
3. 使用 arch 库拟合 GARCH 模型¶
arch 库是 Python 中最成熟的 GARCH 建模工具，由 Kevin Sheppard 维护。
In [5]:
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try:
from arch import arch_model
# 将收益率转换为百分比（arch 库习惯）
returns_pct = garch_returns * 100
# 拟合 GARCH(1,1) 模型，使用 t 分布（更适合金融数据肥尾）
garch_model = arch_model(returns_pct, vol='Garch', p=1, q=1, dist='t')
result = garch_model.fit(disp='off')
print(result.summary())
# 提取拟合的条件波动率（年化）
fitted_vol = result.conditional_volatility * np.sqrt(252) / 100
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(fitted_vol, color='red', label='GARCH(1,1) 条件波动率（年化）', linewidth=1.2)
plt.axhline(fitted_vol.mean(), color='gray', linestyle='--', alpha=0.7, label=f'均值={fitted_vol.mean():.3f}')
plt.title('GARCH(1,1) 估计的条件年化波动率')
plt.ylabel('年化波动率')
plt.legend()
plt.show()
# 预测未来 10 日的波动率
forecasts = result.forecast(horizon=10)
forecast_vol = np.sqrt(forecasts.variance.iloc[-1]) * np.sqrt(252) / 100
print("\n未来 10 日预测波动率（年化）：")
for i, v in enumerate(forecast_vol, 1):
print(f" Day +{i}: {v:.4f}")
except ImportError:
print("请先安装 arch 库：!pip install arch")
print("这里展示拟合结果的期望输出格式：")
print(" omega = 4.32e-06 (长期方差)")
print(" alpha = 0.1489 (ARCH 效应)")
print(" beta = 0.8011 (GARCH 持久性)")
print(" alpha + beta = 0.9500 < 1.0（模型平稳）")
try:
from arch import arch_model
# 将收益率转换为百分比（arch 库习惯）
returns_pct = garch_returns * 100
# 拟合 GARCH(1,1) 模型，使用 t 分布（更适合金融数据肥尾）
garch_model = arch_model(returns_pct, vol='Garch', p=1, q=1, dist='t')
result = garch_model.fit(disp='off')
print(result.summary())
# 提取拟合的条件波动率（年化）
fitted_vol = result.conditional_volatility * np.sqrt(252) / 100
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(fitted_vol, color='red', label='GARCH(1,1) 条件波动率（年化）', linewidth=1.2)
plt.axhline(fitted_vol.mean(), color='gray', linestyle='--', alpha=0.7, label=f'均值={fitted_vol.mean():.3f}')
plt.title('GARCH(1,1) 估计的条件年化波动率')
plt.ylabel('年化波动率')
plt.legend()
plt.show()
# 预测未来 10 日的波动率
forecasts = result.forecast(horizon=10)
forecast_vol = np.sqrt(forecasts.variance.iloc[-1]) * np.sqrt(252) / 100
print("\n未来 10 日预测波动率（年化）：")
for i, v in enumerate(forecast_vol, 1):
print(f" Day +{i}: {v:.4f}")
except ImportError:
print("请先安装 arch 库：!pip install arch")
print("这里展示拟合结果的期望输出格式：")
print(" omega = 4.32e-06 (长期方差)")
print(" alpha = 0.1489 (ARCH 效应)")
print(" beta = 0.8011 (GARCH 持久性)")
print(" alpha + beta = 0.9500 < 1.0（模型平稳）")
Constant Mean - GARCH Model Results
====================================================================================
Dep. Variable: y R-squared: 0.000
Mean Model: Constant Mean Adj. R-squared: 0.000
Vol Model: GARCH Log-Likelihood: -1662.25
Distribution: Standardized Student's t AIC: 3334.51
Method: Maximum Likelihood BIC: 3359.05
No. Observations: 1000
Date: Sat, Mar 07 2026 Df Residuals: 999
Time: 01:27:48 Df Model: 1
Mean Model
==========================================================================
coef std err t P>|t| 95.0% Conf. Int.
--------------------------------------------------------------------------
mu 0.1007 3.659e-02 2.752 5.916e-03 [2.900e-02, 0.172]
Volatility Model
==========================================================================
coef std err t P>|t| 95.0% Conf. Int.
--------------------------------------------------------------------------
omega 0.2014 5.963e-02 3.377 7.317e-04 [8.453e-02, 0.318]
alpha[1] 0.1835 3.571e-02 5.138 2.782e-07 [ 0.113, 0.253]
beta[1] 0.7070 5.489e-02 12.881 5.747e-38 [ 0.599, 0.815]
Distribution
=============================================================================
coef std err t P>|t| 95.0% Conf. Int.
-----------------------------------------------------------------------------
nu 100.1259 236.286 0.424 0.672 [-3.630e+02,5.632e+02]
=============================================================================
Covariance estimator: robust
未来 10 日预测波动率（年化）： Day +1: 0.1546 Day +2: 0.1624 Day +3: 0.1690 Day +4: 0.1746 Day +5: 0.1795 Day +6: 0.1838 Day +7: 0.1875 Day +8: 0.1907 Day +9: 0.1936 Day +10: 0.1961
4. GARCH 在风险管理中的应用：动态 VaR¶
传统的 VaR 使用固定的历史波动率。GARCH-VaR 使用预测的当日条件波动率，更加精准。
In [6]:
Copied!
# 用模拟数据演示动态 GARCH-VaR
confidence = 0.95
z_score = stats.norm.ppf(1 - confidence) # ≈ -1.645
# 静态 VaR（使用总体平均波动率）
static_vol = np.std(garch_returns)
static_var = z_score * static_vol
# 动态 GARCH-VaR（使用当日条件波动率）
dynamic_vol = np.sqrt(sigma2)
dynamic_var = z_score * dynamic_vol
plt.figure(figsize=(13, 5))
plt.plot(garch_returns, color='gray', alpha=0.5, linewidth=0.8, label='每日收益率')
plt.plot(dynamic_var, color='red', linewidth=1.5, label=f'动态 GARCH-VaR (95%)')
plt.axhline(static_var, color='blue', linestyle='--', linewidth=1.5, label=f'静态 VaR (95%): {static_var:.4f}')
plt.title('动态 GARCH-VaR vs 静态 VaR（95% 置信水平）')
plt.ylabel('收益率 / VaR')
plt.legend()
plt.show()
static_violations = (garch_returns < static_var).mean()
dynamic_violations = (garch_returns < dynamic_var).mean()
print(f"静态 VaR 实际违约率（应约为 5%）: {static_violations:.2%}")
print(f"动态 GARCH-VaR 实际违约率（应约为 5%）: {dynamic_violations:.2%}")
print("\n结论：动态 GARCH-VaR 更贴近 5% 目标，因为它在高波动期扩大了 VaR 区间")
# 用模拟数据演示动态 GARCH-VaR
confidence = 0.95
z_score = stats.norm.ppf(1 - confidence) # ≈ -1.645
# 静态 VaR（使用总体平均波动率）
static_vol = np.std(garch_returns)
static_var = z_score * static_vol
# 动态 GARCH-VaR（使用当日条件波动率）
dynamic_vol = np.sqrt(sigma2)
dynamic_var = z_score * dynamic_vol
plt.figure(figsize=(13, 5))
plt.plot(garch_returns, color='gray', alpha=0.5, linewidth=0.8, label='每日收益率')
plt.plot(dynamic_var, color='red', linewidth=1.5, label=f'动态 GARCH-VaR (95%)')
plt.axhline(static_var, color='blue', linestyle='--', linewidth=1.5, label=f'静态 VaR (95%): {static_var:.4f}')
plt.title('动态 GARCH-VaR vs 静态 VaR（95% 置信水平）')
plt.ylabel('收益率 / VaR')
plt.legend()
plt.show()
static_violations = (garch_returns < static_var).mean()
dynamic_violations = (garch_returns < dynamic_var).mean()
print(f"静态 VaR 实际违约率（应约为 5%）: {static_violations:.2%}")
print(f"动态 GARCH-VaR 实际违约率（应约为 5%）: {dynamic_violations:.2%}")
print("\n结论：动态 GARCH-VaR 更贴近 5% 目标，因为它在高波动期扩大了 VaR 区间")
静态 VaR 实际违约率（应约为 5%）: 3.90% 动态 GARCH-VaR 实际违约率（应约为 5%）: 4.20% 结论：动态 GARCH-VaR 更贴近 5% 目标，因为它在高波动期扩大了 VaR 区间
练习¶
- 对真实 AAPL 日收益率数据进行 Ljung-Box 平方收益率检验，是否存在显著的 ARCH 效应？
- 分别拟合 ARCH(1), GARCH(1,1), GJR-GARCH(1,1) 三种模型，用 AIC 和 BIC 判断哪个更优。
- 修改 GARCH(1,1) 中的 alpha 和 beta 参数，观察当 alpha+beta 接近 1.0 时，波动率预测曲线形态如何变化。
下一节 → 06_statistics_fundamentals.ipynb
In [ ]:
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