5.3 CAPM 与套利定价理论 (CAPM & APT)¶

学习目标¶

• 理解 CAPM 的核心假设和结论
• 绘制证券市场线 (SML) 并解读 Alpha
• 了解多因子 APT 如何扩展 CAPM
• 实践：用历史数据估计单只股票的 Alpha 和 Beta

In [1]:

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(42)
print('Libraries loaded')

import numpy as np import pandas as pd import statsmodels.api as sm import matplotlib.pyplot as plt np.random.seed(42) print('Libraries loaded')

Libraries loaded

In [2]:

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

import matplotlib.pyplot as plt # 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei） plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei'] # 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

1. CAPM 核心公式¶

资本资产定价模型 (CAPM) 假设市场是均衡的，每只股票的预期收益由一个简单关系决定：

$$E[R_i] = R_f + \beta_i \cdot (E[R_m] - R_f)$$

• $R_f$：无风险利率（国债收益率）
• $E[R_m] - R_f$：市场风险溢价（Market Risk Premium，约 4%~7%）
• $\beta_i$：股票对市场的系统性风险暴露
• $E[R_i]$：股票的理论预期收益率

证券市场线 (Security Market Line, SML) 是所有均衡资产应该落在的直线。 偏离 SML 的距离就是 Alpha——超越市场理论预期的超额收益。

In [3]:

# 绘制证券市场线 (SML)
np.random.seed(42)
risk_free = 0.03        # 无风险利率 3%
market_premium = 0.06   # 市场溢价 6%

# 模拟 50 只股票的 Beta 和实际年化收益率
betas = np.random.uniform(0.3, 2.0, 50)
alphas = np.random.normal(0, 0.02, 50)  # 各股真实 Alpha（正负随机）
actual_returns = risk_free + betas * market_premium + alphas

# SML
beta_range = np.linspace(0, 2.5, 100)
sml_returns = risk_free + beta_range * market_premium

plt.figure(figsize=(10, 7))
plt.plot(beta_range, sml_returns * 100, 'k-', linewidth=2, label='证券市场线 (SML)')

# 绘制各股票，颜色区分 Alpha 正负
positive_alpha = actual_returns > (risk_free + betas * market_premium)
plt.scatter(betas[positive_alpha], actual_returns[positive_alpha] * 100,
            color='green', s=80, alpha=0.7, label='正 Alpha 股票（SML 上方）', zorder=5)
plt.scatter(betas[~positive_alpha], actual_returns[~positive_alpha] * 100,
            color='red', s=80, alpha=0.7, label='负 Alpha 股票（SML 下方）', zorder=5)

# 标注市场组合 (Beta=1)
plt.scatter([1.0], [(risk_free + market_premium) * 100], marker='*', s=400,
            color='gold', zorder=6, label='市场组合 (Beta=1)')

plt.xlabel('Beta (系统性风险)', fontsize=12)
plt.ylabel('预期年化收益率 (%)', fontsize=12)
plt.title('证券市场线 (SML) & Alpha 可视化', fontsize=14)
plt.legend(fontsize=10)
plt.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

print(f'正 Alpha 股票: {positive_alpha.sum()} 只')
print(f'负 Alpha 股票: {(~positive_alpha).sum()} 只')

# 绘制证券市场线 (SML) np.random.seed(42) risk_free = 0.03 # 无风险利率 3% market_premium = 0.06 # 市场溢价 6% # 模拟 50 只股票的 Beta 和实际年化收益率 betas = np.random.uniform(0.3, 2.0, 50) alphas = np.random.normal(0, 0.02, 50) # 各股真实 Alpha（正负随机） actual_returns = risk_free + betas * market_premium + alphas # SML beta_range = np.linspace(0, 2.5, 100) sml_returns = risk_free + beta_range * market_premium plt.figure(figsize=(10, 7)) plt.plot(beta_range, sml_returns * 100, 'k-', linewidth=2, label='证券市场线 (SML)') # 绘制各股票，颜色区分 Alpha 正负 positive_alpha = actual_returns > (risk_free + betas * market_premium) plt.scatter(betas[positive_alpha], actual_returns[positive_alpha] * 100, color='green', s=80, alpha=0.7, label='正 Alpha 股票（SML 上方）', zorder=5) plt.scatter(betas[~positive_alpha], actual_returns[~positive_alpha] * 100, color='red', s=80, alpha=0.7, label='负 Alpha 股票（SML 下方）', zorder=5) # 标注市场组合 (Beta=1) plt.scatter([1.0], [(risk_free + market_premium) * 100], marker='*', s=400, color='gold', zorder=6, label='市场组合 (Beta=1)') plt.xlabel('Beta (系统性风险)', fontsize=12) plt.ylabel('预期年化收益率 (%)', fontsize=12) plt.title('证券市场线 (SML) & Alpha 可视化', fontsize=14) plt.legend(fontsize=10) plt.grid(alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() print(f'正 Alpha 股票: {positive_alpha.sum()} 只') print(f'负 Alpha 股票: {(~positive_alpha).sum()} 只')

正 Alpha 股票: 25 只
负 Alpha 股票: 25 只

2. 用 OLS 估计单只股票的 Alpha 和 Beta¶

In [4]:

n = 252  # 一年
market_returns = np.random.normal(0.06/252, 0.18/np.sqrt(252), n)
stock_returns = 0.0003 + 1.25 * market_returns + np.random.normal(0, 0.008, n)

X = sm.add_constant(market_returns)
result = sm.OLS(stock_returns, X).fit()

print(f'估计 Alpha（日）: {result.params[0]:.6f}   (年化: {result.params[0]*252:.4f})')
print(f'估计 Beta:        {result.params[1]:.4f}')
print(f'R-squared:        {result.rsquared:.4f}')
print(f'Alpha p-value:    {result.pvalues[0]:.4f}  ← 是否显著不为零？')

n = 252 # 一年 market_returns = np.random.normal(0.06/252, 0.18/np.sqrt(252), n) stock_returns = 0.0003 + 1.25 * market_returns + np.random.normal(0, 0.008, n) X = sm.add_constant(market_returns) result = sm.OLS(stock_returns, X).fit() print(f'估计 Alpha（日）: {result.params[0]:.6f} (年化: {result.params[0]*252:.4f})') print(f'估计 Beta: {result.params[1]:.4f}') print(f'R-squared: {result.rsquared:.4f}') print(f'Alpha p-value: {result.pvalues[0]:.4f} ← 是否显著不为零？')

估计 Alpha（日）: -0.000032   (年化: -0.0081)
估计 Beta:        1.2081
R-squared:        0.7345
Alpha p-value:    0.9492  ← 是否显著不为零？

3. 多因子 APT¶

APT（套利定价理论）将 CAPM 中单一的市场因子扩展为多因子模型：

$$E[R_i] = R_f + \beta_{i,1} f_1 + \beta_{i,2} f_2 + ... + \beta_{i,K} f_K$$

常见因子（Fama-French 模型）：

• f1: 市场因子（CAPM 的 Rm-Rf）
• f2: SMB（小市值 - 大市值）
• f3: HML（高账面市值比 - 低账面市值比）

In [5]:

# Fama-French 三因子简化演示
Mkt_Rf = np.random.normal(0.0002, 0.01, n)  # 市场超额收益率
SMB    = np.random.normal(0.0001, 0.005, n) # 规模因子
HML    = np.random.normal(0.0001, 0.005, n) # 价值因子

X_ff3 = sm.add_constant(np.column_stack([Mkt_Rf, SMB, HML]))
result_ff3 = sm.OLS(stock_returns - 0.03/252, X_ff3).fit()

print('Fama-French 三因子模型回归结果：')
print(f'Alpha: {result_ff3.params[0]:.6f} (年化: {result_ff3.params[0]*252:.4f})')
print(f'Beta_Mkt:  {result_ff3.params[1]:.4f}')
print(f'Beta_SMB:  {result_ff3.params[2]:.4f}  (正值=偏小市值)')
print(f'Beta_HML:  {result_ff3.params[3]:.4f}  (正值=偏价值股)')
print(f'R-squared: {result_ff3.rsquared:.4f}  (更高意味着三因子解释力更强)')

# Fama-French 三因子简化演示 Mkt_Rf = np.random.normal(0.0002, 0.01, n) # 市场超额收益率 SMB = np.random.normal(0.0001, 0.005, n) # 规模因子 HML = np.random.normal(0.0001, 0.005, n) # 价值因子 X_ff3 = sm.add_constant(np.column_stack([Mkt_Rf, SMB, HML])) result_ff3 = sm.OLS(stock_returns - 0.03/252, X_ff3).fit() print('Fama-French 三因子模型回归结果：') print(f'Alpha: {result_ff3.params[0]:.6f} (年化: {result_ff3.params[0]*252:.4f})') print(f'Beta_Mkt: {result_ff3.params[1]:.4f}') print(f'Beta_SMB: {result_ff3.params[2]:.4f} (正值=偏小市值)') print(f'Beta_HML: {result_ff3.params[3]:.4f} (正值=偏价值股)') print(f'R-squared: {result_ff3.rsquared:.4f} (更高意味着三因子解释力更强)')

Fama-French 三因子模型回归结果：
Alpha: 0.000700 (年化: 0.1765)
Beta_Mkt:  0.1260
Beta_SMB:  0.0706  (正值=偏小市值)
Beta_HML:  0.1019  (正值=偏价值股)
R-squared: 0.0088  (更高意味着三因子解释力更强)

🎯 练习¶

1. 用 SPY，QQQ，GLD 三个不同 Beta 的 ETF，在同一个 SML 上标注它们的实际历史年化收益率，看谁真正有 Alpha。
2. 对比单因子 CAPM 和 Fama-French 三因子上同一只股票的 R-squared，三因子是否解释了更多方差？
3. 修改代码模拟一只高 Alpha（年化 +5%）且低 Beta（0.3）的股票，在 SML 图上它会在什么位置？

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下一节 → 04_factor_analysis.ipynb

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