5.1 Markowitz 均值-方差优化：构建“最优”组合¶

这一节讲什么？

"不要把所有鸡蛋放在一个篮子里"——马科维茨用数学证明了这一点。这一节实现均值-方差优化，在给定收益目标下找到风险最小的投资组合，即所谓的"有效前沿"。

学习目标¶

• 理解现代投资组合理论（MPT）的核心思想：分散投资的威力
• 严谨性：掌握协方差矩阵的收缩估计（Shrinkage）以应对估值风险
• 用 Python 计算并绘制有效前沿（Efficient Frontier）
• 找到最大夏普比率组合和最小方差组合

In [1]:

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import yfinance as yf
from scipy.optimize import minimize
from sklearn.covariance import LedoitWolf

plt.rcParams['figure.figsize'] = (10, 7)
plt.style.use('seaborn-v0_8-muted')

# 下载多资产数据以构建组合
tickers = ['AAPL', 'MSFT', 'GOOGL', 'AMZN', 'JPM', 'GLD', 'TLT']
prices = yf.download(tickers, start='2020-01-01', end='2024-01-01',
                     progress=False)['Close'].dropna()
returns = prices.pct_change().dropna()

n_assets = len(tickers)
mu = returns.mean() * 252           # 年化期望收益率

print(f'已获取 {n_assets} 只涵盖科技、银行、黄金、债市的资产，准备构建跨市场组合。')

import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import yfinance as yf from scipy.optimize import minimize from sklearn.covariance import LedoitWolf plt.rcParams['figure.figsize'] = (10, 7) plt.style.use('seaborn-v0_8-muted') # 下载多资产数据以构建组合 tickers = ['AAPL', 'MSFT', 'GOOGL', 'AMZN', 'JPM', 'GLD', 'TLT'] prices = yf.download(tickers, start='2020-01-01', end='2024-01-01', progress=False)['Close'].dropna() returns = prices.pct_change().dropna() n_assets = len(tickers) mu = returns.mean() * 252 # 年化期望收益率 print(f'已获取 {n_assets} 只涵盖科技、银行、黄金、债市的资产，准备构建跨市场组合。')

已获取 7 只涵盖科技、银行、黄金、债市的资产，准备构建跨市场组合。

In [2]:

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

import matplotlib.pyplot as plt # 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei） plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei'] # 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

1. 估值陷阱：为什么要用“收缩估计量”？¶

QuantEcon 深度提示： MPT 最大的痛点是“垃圾进，垃圾出”。普通的样本协方差矩阵（Sample Covariance）在处理多资产时非常不稳定，容易放大噪声。

Ledoit-Wolf 收缩：这是一种更稳健的方法。它将样本协方差向一个结构化的目标（如等相关矩阵）进行“拉伸”，从而降低极端错误。这在资产数量较多时至关重要。

In [3]:

# 传统方法 vs 稳健方法
cov_sample = returns.cov() * 252

lw = LedoitWolf()
cov_lw = lw.fit(returns).covariance_ * 252

print("稳健协方差矩阵计算完成。这能有效降低模型对历史噪声的过度敏感。")

# 传统方法 vs 稳健方法 cov_sample = returns.cov() * 252 lw = LedoitWolf() cov_lw = lw.fit(returns).covariance_ * 252 print("稳健协方差矩阵计算完成。这能有效降低模型对历史噪声的过度敏感。")

稳健协方差矩阵计算完成。这能有效降低模型对历史噪声的过度敏感。

2. 组合绩效函数¶

$$\mu_p = \mathbf{w}^T \boldsymbol{\mu}, \quad \sigma_p = \sqrt{\mathbf{w}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w}}$$

In [4]:

def portfolio_stats(weights, mu, cov):
    w = np.array(weights)
    ret = w @ mu
    vol = np.sqrt(w @ cov @ w)
    sharpe = (ret - 0.04) / vol # 假设无风险利率为 4%
    return ret, vol, sharpe

def portfolio_stats(weights, mu, cov): w = np.array(weights) ret = w @ mu vol = np.sqrt(w @ cov @ w) sharpe = (ret - 0.04) / vol # 假设无风险利率为 4% return ret, vol, sharpe

3. 寻找最优解：有效前沿¶

我们使用数值优化器，在给定约束（权重和为 1，不充许做空）下寻找：

1. 最大夏普比率组合：每单位风险换取最高回报的点。
2. 最小方差组合：不管赚多少，风险最小的点。

In [5]:

constraints = ({'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1})
bounds = [(0, 1)] * n_assets
w0 = np.ones(n_assets) / n_assets

# 优化最大夏普 (使用稳健协方差 cov_lw)
res_sr = minimize(lambda w: -portfolio_stats(w, mu, cov_lw)[2], w0, 
                  bounds=bounds, constraints=constraints)
w_sr = res_sr.x
sr_ret, sr_vol, _ = portfolio_stats(w_sr, mu, cov_lw)

# 优化最小方差
res_mv = minimize(lambda w: portfolio_stats(w, mu, cov_lw)[1], w0, 
                  bounds=bounds, constraints=constraints)
w_mv = res_mv.x
mv_ret, mv_vol, _ = portfolio_stats(w_mv, mu, cov_lw)

print("优化计算完成。")

constraints = ({'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1}) bounds = [(0, 1)] * n_assets w0 = np.ones(n_assets) / n_assets # 优化最大夏普 (使用稳健协方差 cov_lw) res_sr = minimize(lambda w: -portfolio_stats(w, mu, cov_lw)[2], w0, bounds=bounds, constraints=constraints) w_sr = res_sr.x sr_ret, sr_vol, _ = portfolio_stats(w_sr, mu, cov_lw) # 优化最小方差 res_mv = minimize(lambda w: portfolio_stats(w, mu, cov_lw)[1], w0, bounds=bounds, constraints=constraints) w_mv = res_mv.x mv_ret, mv_vol, _ = portfolio_stats(w_mv, mu, cov_lw) print("优化计算完成。")

优化计算完成。

4. 可视化：有效前沿与资产配置¶

In [6]:

# 模拟 2000 个随机组合进行对比
n_sims = 2000
sim_results = np.zeros((n_sims, 2))
for i in range(n_sims):
    w = np.random.random(n_assets)
    w /= w.sum()
    r, v, _ = portfolio_stats(w, mu, cov_lw)
    sim_results[i] = [r, v]

plt.scatter(sim_results[:, 1], sim_results[:, 0], c=sim_results[:, 0]/sim_results[:, 1], 
            cmap='viridis', alpha=0.3, s=10)
plt.scatter(sr_vol, sr_ret, marker='*', s=300, color='gold', label='最大夏普组合')
plt.scatter(mv_vol, mv_ret, marker='D', s=150, color='cyan', label='最小方差组合')
plt.xlabel('预期波动率 (Risk)')
plt.ylabel('预期收益率 (Return)')
plt.title("现代投资组合理论：有效前沿")
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.2)
plt.show()

print('\n--- 最大夏普组合权重分布 ---')
for t, w in sorted(zip(tickers, w_sr), key=lambda x: -x[1]):
    if w > 0.01: print(f"{t:<8}: {w:.2%}")

# 模拟 2000 个随机组合进行对比 n_sims = 2000 sim_results = np.zeros((n_sims, 2)) for i in range(n_sims): w = np.random.random(n_assets) w /= w.sum() r, v, _ = portfolio_stats(w, mu, cov_lw) sim_results[i] = [r, v] plt.scatter(sim_results[:, 1], sim_results[:, 0], c=sim_results[:, 0]/sim_results[:, 1], cmap='viridis', alpha=0.3, s=10) plt.scatter(sr_vol, sr_ret, marker='*', s=300, color='gold', label='最大夏普组合') plt.scatter(mv_vol, mv_ret, marker='D', s=150, color='cyan', label='最小方差组合') plt.xlabel('预期波动率 (Risk)') plt.ylabel('预期收益率 (Return)') plt.title("现代投资组合理论：有效前沿") plt.legend() plt.grid(alpha=0.2) plt.show() print('\n--- 最大夏普组合权重分布 ---') for t, w in sorted(zip(tickers, w_sr), key=lambda x: -x[1]): if w > 0.01: print(f"{t:<8}: {w:.2%}")

--- 最大夏普组合权重分布 ---
AAPL    : 43.13%
GOOGL   : 29.87%
GLD     : 27.00%

🎯 练习¶

1. 对比实验：将 cov_lw 换回 cov_sample，观察最优权重是否发生了剧烈漂移？
2. 分散化度量：计算组合的 Herfindahl 指数 ($H = \sum w_i^2$)。H 越小，说明权重分配越分散。计算最大夏普组合的 H 值是多少？
3. 现实惩罚：在优化中加入单只股票不超过 20% 的限制，观察有效前沿如何向内收缩。

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下一节 → 02_risk_parity.ipynb（我们将学习不依赖期望收益，仅根据风险贡献来平衡组合的方法）

In [ ]: