1.8 肥尾分布与金融市场的极端风险¶

为什么高斯分布在金融中是危险假设？ 正态分布预测下，道琼斯指数单日下跌 20%（如1987年黑色星期一）的概率约为 $10^{-90}$， 相当于在宇宙年龄内也不应发生一次。但它真实发生了。 金融收益率是肥尾分布的——极端事件频率远超正态分布预测。

学习目标¶

• 理解肥尾（Fat Tails）和幂律分布的统计含义
• 用 QQ 图直观诊断收益率的非正态性
• 了解学生 t 分布在收益率建模中的优势
• 简介极值理论（EVT）及其在风险管理中的应用

In [1]:

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
np.random.seed(42)
print('Libraries loaded')

import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt from scipy import stats np.random.seed(42) print('Libraries loaded')

Libraries loaded

In [2]:

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

import matplotlib.pyplot as plt # 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei） plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei'] # 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

1. 正态分布假设的危险：尾部概率对比¶

峰度（Kurtosis）是衡量尾部厚度的指标：

• 正态分布峰度 = 3（超额峰度 = 0）
• 实际金融数据超额峰度通常 > 3（肥尾）

超额峰度越大 → 极端事件（±3σ 以外）发生频率越高。

In [3]:

n = 10_000

# 正态分布（细尾）
normal_returns = np.random.normal(0, 0.01, n)

# 学生 t 分布（肥尾，自由度=3）
t_returns = np.random.standard_t(df=3, size=n) * 0.006

# 混合分布（模拟市场崩溃）：95% 正常 + 5% 危机
mixed = np.concatenate([
    np.random.normal(0, 0.008, int(n * 0.95)),
    np.random.normal(-0.04, 0.025, int(n * 0.05))
])
np.random.shuffle(mixed)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
for ax, data, title, color in zip(axes,
    [normal_returns, t_returns, mixed],
    ['正态分布', '学生 t 分布 (df=3)', '混合分布（模拟危机）'],
    ['steelblue', 'darkorange', 'red']):
    ax.hist(data, bins=100, density=True, alpha=0.7, color=color, edgecolor='none')
    x = np.linspace(data.min(), data.max(), 200)
    ax.plot(x, stats.norm.pdf(x, data.mean(), data.std()), 'k--', lw=2, label='正态拟合')
    ax.set_title(f'{title}\n峰度={stats.kurtosis(data):.2f}')
    ax.legend(fontsize=8); ax.set_xlim(-0.1, 0.1)
plt.suptitle('正态分布 vs 肥尾分布：峰度差异', fontsize=13)
plt.tight_layout(); plt.show()

n = 10_000 # 正态分布（细尾） normal_returns = np.random.normal(0, 0.01, n) # 学生 t 分布（肥尾，自由度=3） t_returns = np.random.standard_t(df=3, size=n) * 0.006 # 混合分布（模拟市场崩溃）：95% 正常 + 5% 危机 mixed = np.concatenate([ np.random.normal(0, 0.008, int(n * 0.95)), np.random.normal(-0.04, 0.025, int(n * 0.05)) ]) np.random.shuffle(mixed) fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5)) for ax, data, title, color in zip(axes, [normal_returns, t_returns, mixed], ['正态分布', '学生 t 分布 (df=3)', '混合分布（模拟危机）'], ['steelblue', 'darkorange', 'red']): ax.hist(data, bins=100, density=True, alpha=0.7, color=color, edgecolor='none') x = np.linspace(data.min(), data.max(), 200) ax.plot(x, stats.norm.pdf(x, data.mean(), data.std()), 'k--', lw=2, label='正态拟合') ax.set_title(f'{title}\n峰度={stats.kurtosis(data):.2f}') ax.legend(fontsize=8); ax.set_xlim(-0.1, 0.1) plt.suptitle('正态分布 vs 肥尾分布：峰度差异', fontsize=13) plt.tight_layout(); plt.show()

2. QQ 图：直观诊断肥尾¶

如果数据服从正态分布，QQ 图应该是一条直线。肥尾数据在两端会向上/向下弯曲。

In [4]:

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))
for ax, data, title in zip(axes,
    [normal_returns, t_returns, mixed],
    ['正态分布', 't分布(肥尾)', '混合分布']):
    stats.probplot(data, dist='norm', plot=ax)
    ax.set_title(f'QQ图：{title}')
    ax.get_lines()[1].set_color('red')
plt.tight_layout(); plt.show()
print('QQ 图判读：两端偏离红线越多，肥尾越严重')

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5)) for ax, data, title in zip(axes, [normal_returns, t_returns, mixed], ['正态分布', 't分布(肥尾)', '混合分布']): stats.probplot(data, dist='norm', plot=ax) ax.set_title(f'QQ图：{title}') ax.get_lines()[1].set_color('red') plt.tight_layout(); plt.show() print('QQ 图判读：两端偏离红线越多，肥尾越严重')

QQ 图判读：两端偏离红线越多，肥尾越严重

3. 极端事件频率：正态 vs 现实¶

以日收益率标准差 σ=1% 为例，计算不同极端事件在各分布下的预测频率：

In [5]:

sigma = 0.01
print(f'日收益率标准差 σ = {sigma:.1%}\n')
print(f'{'事件':25s} {'正态分布理论频率':20s} {'t分布(df=5)频率':20s}')
print('-' * 65)

events = [(-0.03, '单日跌 3% (3σ)'), (-0.05, '单日跌 5% (5σ)'),
          (-0.10, '单日跌 10% (10σ)'), (-0.20, '单日跌 20% (20σ)')]

for threshold, label in events:
    z = threshold / sigma
    p_normal = stats.norm.cdf(z)
    p_t = stats.t.cdf(z, df=5)   # 自由度5的 t 分布
    freq_normal = f'1/{1/p_normal:.0e}'.replace('/', ' 年一次' if 1/p_normal > 250 else ' 天')
    years_normal = 1 / (p_normal * 252)
    years_t = 1 / (p_t * 252)
    print(f'{label:25s}  每 {years_normal:.1f} 年       每 {years_t:.1f} 年')

sigma = 0.01 print(f'日收益率标准差 σ = {sigma:.1%}\n') print(f'{'事件':25s} {'正态分布理论频率':20s} {'t分布(df=5)频率':20s}') print('-' * 65) events = [(-0.03, '单日跌 3% (3σ)'), (-0.05, '单日跌 5% (5σ)'), (-0.10, '单日跌 10% (10σ)'), (-0.20, '单日跌 20% (20σ)')] for threshold, label in events: z = threshold / sigma p_normal = stats.norm.cdf(z) p_t = stats.t.cdf(z, df=5) # 自由度5的 t 分布 freq_normal = f'1/{1/p_normal:.0e}'.replace('/', ' 年一次' if 1/p_normal > 250 else ' 天') years_normal = 1 / (p_normal * 252) years_t = 1 / (p_t * 252) print(f'{label:25s} 每 {years_normal:.1f} 年 每 {years_t:.1f} 年')

日收益率标准差 σ = 1.0%

事件                        正态分布理论频率             t分布(df=5)频率         
-----------------------------------------------------------------
单日跌 3% (3σ)                每 2.9 年       每 0.3 年
单日跌 5% (5σ)                每 13843.5 年       每 1.9 年
单日跌 10% (10σ)              每 520778282162624462848.0 年       每 46.4 年
单日跌 20% (20σ)              每 144110227007404368736004373587456829506024729208898486292676143949773087913817533317120.0 年       每 1374.2 年

4. 用学生 t 分布建模肥尾收益率¶

In [6]:

# 用 MLE 拟合真实肥尾收益率
np.random.seed(42)
real_returns = np.random.standard_t(df=4, size=2000) * 0.008  # 模拟「真实」数据

# 拟合正态分布
norm_params = stats.norm.fit(real_returns)
# 拟合 t 分布
t_params = stats.t.fit(real_returns)  # (df, loc, scale)

x = np.linspace(real_returns.min(), real_returns.max(), 300)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
ax.hist(real_returns, bins=60, density=True, alpha=0.5, color='steelblue', label='模拟数据')
ax.plot(x, stats.norm.pdf(x, *norm_params), 'r-', lw=2, label=f'正态拟合')
ax.plot(x, stats.t.pdf(x, *t_params), 'g-', lw=2, label=f't 分布拟合 (df={t_params[0]:.2f})')
ax.set_xlim(-0.08, 0.08)
ax.legend(); ax.set_title('正态 vs 学生 t 分布拟合肥尾收益率')
ax.set_xlabel('日收益率'); plt.show()

# 比较尾部 VaR
alpha = 0.01  # 1% VaR
var_normal = stats.norm.ppf(alpha, *norm_params)
var_t = stats.t.ppf(alpha, *t_params)
print(f'1% VaR (正态分布): {var_normal:.4f} ({var_normal:.2%})')
print(f'1% VaR (t 分布):   {var_t:.4f} ({var_t:.2%})')
print(f't 分布的 VaR 更大（更保守），更接近极端市场的真实情况')

# 用 MLE 拟合真实肥尾收益率 np.random.seed(42) real_returns = np.random.standard_t(df=4, size=2000) * 0.008 # 模拟「真实」数据 # 拟合正态分布 norm_params = stats.norm.fit(real_returns) # 拟合 t 分布 t_params = stats.t.fit(real_returns) # (df, loc, scale) x = np.linspace(real_returns.min(), real_returns.max(), 300) fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5)) ax.hist(real_returns, bins=60, density=True, alpha=0.5, color='steelblue', label='模拟数据') ax.plot(x, stats.norm.pdf(x, *norm_params), 'r-', lw=2, label=f'正态拟合') ax.plot(x, stats.t.pdf(x, *t_params), 'g-', lw=2, label=f't 分布拟合 (df={t_params[0]:.2f})') ax.set_xlim(-0.08, 0.08) ax.legend(); ax.set_title('正态 vs 学生 t 分布拟合肥尾收益率') ax.set_xlabel('日收益率'); plt.show() # 比较尾部 VaR alpha = 0.01 # 1% VaR var_normal = stats.norm.ppf(alpha, *norm_params) var_t = stats.t.ppf(alpha, *t_params) print(f'1% VaR (正态分布): {var_normal:.4f} ({var_normal:.2%})') print(f'1% VaR (t 分布): {var_t:.4f} ({var_t:.2%})') print(f't 分布的 VaR 更大（更保守），更接近极端市场的真实情况')

1% VaR (正态分布): -0.0256 (-2.56%)
1% VaR (t 分布):   -0.0291 (-2.91%)
t 分布的 VaR 更大（更保守），更接近极端市场的真实情况

🎯 练习¶

1. 对 SPY/AAPL 真实历史日收益率进行 Jarque-Bera 正态性检验，输出峰度和 p 值。
2. 分别用 df=3、5、10、∞（正态）的 t 分布模拟 Monte Carlo，对比 1% CVaR 的差异。
3. 研究「极值理论 GEV」分布（scipy.stats.genextreme），对收益率最大回撤序列进行拟合。

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下一节 → 09_lln_clt.ipynb

In [ ]: