9.2 做市商策略：Avellaneda-Stoikov 最优报价模型¶

做市商是金融市场的「流动性提供者」¶

做市商的商业模式：

在买卖两侧同时挂限价单，让其他参与者随时可以成交：

• 用 Bid 价格买入（略低于中间价）
• 用 Ask 价格卖出（略高于中间价）

理想情况下，买卖各 50% → 赚取价差 (Ask - Bid)，库存归零。

为什么不是「无风险套利」？¶

库存风险（Inventory Risk）是核心挑战：

如果市场单边下跌，做市商在 Bid 价买入但价格继续跌， 手中持有的多头头寸不断贬值——这就是逆向选择问题。

Avellaneda-Stoikov 模型的核心贡献¶

Avellaneda & Stoikov（2008）解决了：

在有限时间区间内，考虑库存风险，做市商应该如何动态调整自己的报价？

关键思想：报价偏移随库存动态调整

• 多头库存过多 → 降低买价（减少继续买入），提高卖价（激励卖出去库存）
• 空头库存过多 → 做反向调整

这是量化做市商的理论基础。

学习目标¶

• 理解做市商的盈利来源和库存风险
• 理解 AS 模型的核心直觉：保留价 + 最优价差
• 模拟并分析 AS 做市商的 PNL 和库存变化

In [1]:

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(42)
print('OK')

import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt np.random.seed(42) print('OK')

OK

In [2]:

import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei）
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei']

# 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

import matplotlib.pyplot as plt # 1. 设置系统自带的中文字体（这里使用黑体 SimHei） plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 如果你想用微软雅黑，可以改成 ['Microsoft YaHei'] # 2. 解决更换字体后，负号（-）显示为方块的问题 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

第一部分：固定价差做市商——最简单的做市策略¶

策略逻辑¶

始终在 Mid - δ 处挂买单，在 Mid + δ 处挂卖单。 只要双边都成交，每轮可以赚取 2δ 价差。

问题：为什么简单固定价差不够好？¶

当价格单边下跌时：

1. Bid 单被击中 → 买入了（库存增加）
2. Ask 单远离市场价格，没人来卖 → 库存无法释放
3. 买入的库存因价格下跌持续亏损

这就是异向选择（Adverse Selection）： 来主动「敲」做市商报价的交易者，往往是掌握信息的一方， 他们在价格即将不利于做市商时才来成交。

In [3]:

np.random.seed(42)
n = 1000
sigma = 0.01
# 随机游走中间价
S = np.cumsum(np.random.normal(0, sigma, n)) + 100

delta = 0.05  # 单侧价差

# 简单固定价差策略模拟
inventory_simple = 0
cash_simple = 0
pnl_simple = []

for t in range(n):
    bid_s = S[t] - delta
    ask_s = S[t] + delta
    buy_hit  = np.random.random() < 0.3  # 30% 概率 Bid 被击中
    sell_hit = np.random.random() < 0.3  # 30% 概率 Ask 被击中
    if buy_hit:  inventory_simple += 1;  cash_simple -= bid_s
    if sell_hit: inventory_simple -= 1;  cash_simple += ask_s
    pnl_simple.append(cash_simple + inventory_simple * S[t])

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 6), sharex=True)
S_series = pd.Series(S)
bid = S_series - delta
ask = S_series + delta
axes[0].plot(S[:200], 'k', lw=1, label='中间价')
axes[0].plot(bid[:200], 'g', lw=0.8, alpha=0.7, label=f'Bid=Mid-{delta}')
axes[0].plot(ask[:200], 'r', lw=0.8, alpha=0.7, label=f'Ask=Mid+{delta}')
axes[0].set_title('固定价差做市商报价示意（前200步）')
axes[0].legend(fontsize=8)

pd.Series(pnl_simple).plot(ax=axes[1], color='purple', lw=1)
axes[1].set_title('固定价差做市商 PNL（固定报价无法应对库存积累）')
plt.tight_layout(); plt.show()

np.random.seed(42) n = 1000 sigma = 0.01 # 随机游走中间价 S = np.cumsum(np.random.normal(0, sigma, n)) + 100 delta = 0.05 # 单侧价差 # 简单固定价差策略模拟 inventory_simple = 0 cash_simple = 0 pnl_simple = [] for t in range(n): bid_s = S[t] - delta ask_s = S[t] + delta buy_hit = np.random.random() < 0.3 # 30% 概率 Bid 被击中 sell_hit = np.random.random() < 0.3 # 30% 概率 Ask 被击中 if buy_hit: inventory_simple += 1; cash_simple -= bid_s if sell_hit: inventory_simple -= 1; cash_simple += ask_s pnl_simple.append(cash_simple + inventory_simple * S[t]) fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 6), sharex=True) S_series = pd.Series(S) bid = S_series - delta ask = S_series + delta axes[0].plot(S[:200], 'k', lw=1, label='中间价') axes[0].plot(bid[:200], 'g', lw=0.8, alpha=0.7, label=f'Bid=Mid-{delta}') axes[0].plot(ask[:200], 'r', lw=0.8, alpha=0.7, label=f'Ask=Mid+{delta}') axes[0].set_title('固定价差做市商报价示意（前200步）') axes[0].legend(fontsize=8) pd.Series(pnl_simple).plot(ax=axes[1], color='purple', lw=1) axes[1].set_title('固定价差做市商 PNL（固定报价无法应对库存积累）') plt.tight_layout(); plt.show()

第二部分：Avellaneda-Stoikov 模型——最优动态报价¶

核心公式¶

保留价（Reservation Price）：做市商根据当前库存调整的内部中间价

$$r = S - q \cdot \gamma \cdot \sigma^2 \cdot (T - t)$$

• $q > 0$（多头库存过多）→ $r < S$：做市商认为「内部」价格更低，会降低报价来减少库存
• $\gamma$：风险厌恶系数（越大，对库存越敏感）

最优价差：

$$\delta^{bid} + \delta^{ask} = \gamma \sigma^2 (T-t) + \frac{2}{\gamma} \ln\left(1 + \frac{\gamma}{k}\right)$$

两个重要影响因素：

• 剩余时间多：价差适当放宽（有时间慢慢成交）
• 波动率高：价差放宽（弥补风险暴露）

In [4]:

np.random.seed(42)
n = 1000
sigma = 0.01; gamma = 0.1; eta = 0.015; T = 1.0
S = np.cumsum(np.random.normal(0, sigma, n)) + 100

inventory = 0; cash = 0
pnl_as, inv_as, bid_as, ask_as = [], [], [], []

for t in range(n):
    time_left = T - t/n
    r  = S[t] - inventory * gamma * sigma**2 * time_left        # 保留价
    opt_spread = (gamma * sigma**2 * time_left +
                  2/gamma * np.log(1 + gamma/eta))              # 最优总价差
    b = r - opt_spread/2
    a = r + opt_spread/2
    bid_as.append(b); ask_as.append(a)
    lam = eta * np.exp(-eta * max(S[t]-b, 0))
    buy  = np.random.exponential(1/max(lam, 0.01)) < 1.0
    sell = np.random.exponential(1/max(lam, 0.01)) < 1.0
    if buy:  inventory += 1;  cash -= b
    if sell: inventory -= 1;  cash += a
    pnl_as.append(cash + inventory * S[t])
    inv_as.append(inventory)

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(12, 9), sharex=True)
axes[0].plot(S[:300], 'k', lw=0.8, label='中间价')
axes[0].plot(bid_as[:300], 'g', lw=0.8, alpha=0.7, label='AS Bid（随库存调整）')
axes[0].plot(ask_as[:300], 'r', lw=0.8, alpha=0.7, label='AS Ask（随库存调整）')
axes[0].set_title('Avellaneda-Stoikov 动态报价（前300步）报价随库存动态偏移——库存多时Bid压低，防止继续积累')
axes[0].legend(fontsize=8)

pd.Series(inv_as).plot(ax=axes[1], color='blue', lw=1)
axes[1].axhline(0, color='gray', lw=0.8)
axes[1].set_title('库存变化（目标：维持在0附近，期末尽量归零）')

pd.Series(pnl_as).plot(ax=axes[2], color='green', lw=1.2)
axes[2].set_title('AS做市商累积 PNL')
plt.tight_layout(); plt.show()

print(f'期末库存: {inv_as[-1]}  期末PNL: {pnl_as[-1]:.4f}')
print('关键: AS报价通过动态调整，使库存自然收敛，避免大量单边持仓')

np.random.seed(42) n = 1000 sigma = 0.01; gamma = 0.1; eta = 0.015; T = 1.0 S = np.cumsum(np.random.normal(0, sigma, n)) + 100 inventory = 0; cash = 0 pnl_as, inv_as, bid_as, ask_as = [], [], [], [] for t in range(n): time_left = T - t/n r = S[t] - inventory * gamma * sigma**2 * time_left # 保留价 opt_spread = (gamma * sigma**2 * time_left + 2/gamma * np.log(1 + gamma/eta)) # 最优总价差 b = r - opt_spread/2 a = r + opt_spread/2 bid_as.append(b); ask_as.append(a) lam = eta * np.exp(-eta * max(S[t]-b, 0)) buy = np.random.exponential(1/max(lam, 0.01)) < 1.0 sell = np.random.exponential(1/max(lam, 0.01)) < 1.0 if buy: inventory += 1; cash -= b if sell: inventory -= 1; cash += a pnl_as.append(cash + inventory * S[t]) inv_as.append(inventory) fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(12, 9), sharex=True) axes[0].plot(S[:300], 'k', lw=0.8, label='中间价') axes[0].plot(bid_as[:300], 'g', lw=0.8, alpha=0.7, label='AS Bid（随库存调整）') axes[0].plot(ask_as[:300], 'r', lw=0.8, alpha=0.7, label='AS Ask（随库存调整）') axes[0].set_title('Avellaneda-Stoikov 动态报价（前300步）报价随库存动态偏移——库存多时Bid压低，防止继续积累') axes[0].legend(fontsize=8) pd.Series(inv_as).plot(ax=axes[1], color='blue', lw=1) axes[1].axhline(0, color='gray', lw=0.8) axes[1].set_title('库存变化（目标：维持在0附近，期末尽量归零）') pd.Series(pnl_as).plot(ax=axes[2], color='green', lw=1.2) axes[2].set_title('AS做市商累积 PNL') plt.tight_layout(); plt.show() print(f'期末库存: {inv_as[-1]} 期末PNL: {pnl_as[-1]:.4f}') print('关键: AS报价通过动态调整，使库存自然收敛，避免大量单边持仓')

期末库存: -2  期末PNL: 489.0862
关键: AS报价通过动态调整，使库存自然收敛，避免大量单边持仓

🎯 练习¶

1. 增大风险厌恶系数 gamma（从0.1到1.0），观察保留价偏移程度和期末库存如何变化、PNL是否更稳定。
2. 实现库存硬限制：当库存超过±10时，停止该方向挂单（只挂另一侧），计算对PNL的影响。
3. 研究「逆向选择成本」：Glosten-Milgrom 模型怎样解释知情交易者（Informed Traders）对做市商的侵蚀？为什么做市商对大额市价单报价会更宽？

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下一节 → ../04_backtesting/10_performance_attribution.ipynb

In [ ]: